Номер 46.4, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§46. Переход к новому основанию логарифма. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 46.4, страница 186.

46.4 Известно, что $log_{2}3 = a$. Найдите:

a) $log_{4}9$;

б) $log_{8}18$;

в) $log_{4}81$;

г) $log_{8}54$.

а) Для нахождения значения $log_4 9$, воспользуемся свойствами логарифмов. Представим основание и аргумент логарифма в виде степеней: $4 = 2^2$ и $9 = 3^2$.

Применим формулу $log_{b^n} (x^m) = \frac{m}{n} log_b x$:

$log_4 9 = log_{2^2} (3^2) = \frac{2}{2} log_2 3 = 1 \cdot log_2 3$.

Поскольку по условию $log_2 3 = a$, получаем:

$log_4 9 = a$.

Ответ: $a$.

б) Для нахождения значения $log_8 18$, перейдем к основанию 2, используя формулу замены основания логарифма $log_b x = \frac{log_c x}{log_c b}$:

$log_8 18 = \frac{log_2 18}{log_2 8}$.

Найдем значение знаменателя: $log_2 8 = log_2 (2^3) = 3 \cdot log_2 2 = 3 \cdot 1 = 3$.

Теперь найдем значение числителя. Разложим число 18 на множители: $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$.

Используя свойства логарифма произведения ($log_b (xy) = log_b x + log_b y$) и логарифма степени ($log_b (x^k) = k \cdot log_b x$), получаем:

$log_2 18 = log_2(2 \cdot 3^2) = log_2 2 + log_2 (3^2) = 1 + 2 \cdot log_2 3$.

По условию $log_2 3 = a$, поэтому числитель равен $1 + 2a$.

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$log_8 18 = \frac{1 + 2a}{3}$.

Ответ: $\frac{1 + 2a}{3}$.

в) Для нахождения значения $log_4 81$, представим основание и аргумент логарифма в виде степеней: $4 = 2^2$ и $81 = 3^4$.

Используем формулу $log_{b^n} (x^m) = \frac{m}{n} log_b x$:

$log_4 81 = log_{2^2} (3^4) = \frac{4}{2} log_2 3 = 2 \cdot log_2 3$.

Так как по условию $log_2 3 = a$, получаем:

$log_4 81 = 2a$.

Ответ: $2a$.

г) Для нахождения значения $log_8 54$, перейдем к основанию 2 с помощью формулы замены основания логарифма $log_b x = \frac{log_c x}{log_c b}$:

$log_8 54 = \frac{log_2 54}{log_2 8}$.

Знаменатель равен: $log_2 8 = log_2 (2^3) = 3$.

Для нахождения числителя, разложим число 54 на простые множители: $54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3$.

Применим свойства логарифма произведения и степени:

$log_2 54 = log_2(2 \cdot 3^3) = log_2 2 + log_2 (3^3) = 1 + 3 \cdot log_2 3$.

По условию $log_2 3 = a$, следовательно, числитель равен $1 + 3a$.

Теперь подставим найденные значения в дробь:

$log_8 54 = \frac{1 + 3a}{3}$.

Ответ: $\frac{1 + 3a}{3}$.