Номер 46.3, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§46. Переход к новому основанию логарифма. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 46.3, страница 186.

46.3 Известно, что $ \log_5 2 = b $. Найдите:

a) $ \log_2 25 $;

б) $ \log_2 \frac{1}{25} $;

в) $ \log_2 125 $;

г) $ \log_2 \frac{1}{625} $.

По условию задачи известно, что $log_5 2 = b$. Для решения всех пунктов необходимо выразить искомые логарифмы, имеющие основание 2, через данную величину $b$. Для этого сначала найдем значение $log_2 5$, используя формулу перехода к новому основанию логарифма: $log_a x = \frac{1}{log_x a}$.

Применим эту формулу: $log_2 5 = \frac{1}{log_5 2}$

Так как по условию $log_5 2 = b$, мы получаем ключевое соотношение для дальнейших вычислений: $log_2 5 = \frac{1}{b}$

а) Требуется найти $log_2 25$.

Представим аргумент логарифма, число 25, в виде степени числа 5: $25 = 5^2$. Подставим это в выражение: $log_2 25 = log_2(5^2)$.

Воспользуемся свойством логарифма степени $log_a(x^p) = p \cdot log_a x$, чтобы вынести показатель степени за знак логарифма: $log_2(5^2) = 2 \cdot log_2 5$.

Теперь подставим ранее полученное значение $log_2 5 = \frac{1}{b}$: $2 \cdot \frac{1}{b} = \frac{2}{b}$.

Ответ: $\frac{2}{b}$

б) Требуется найти $log_2 \frac{1}{25}$.

Представим аргумент логарифма $\frac{1}{25}$ в виде степени числа 5: $\frac{1}{25} = 25^{-1} = (5^2)^{-1} = 5^{-2}$. Подставим это в выражение: $log_2 \frac{1}{25} = log_2(5^{-2})$.

Вынесем показатель степени за знак логарифма, используя свойство $log_a(x^p) = p \cdot log_a x$: $log_2(5^{-2}) = -2 \cdot log_2 5$.

Подставим $log_2 5 = \frac{1}{b}$: $-2 \cdot \frac{1}{b} = -\frac{2}{b}$.

Ответ: $-\frac{2}{b}$

в) Требуется найти $log_2 125$.

Представим число 125 в виде степени числа 5: $125 = 5^3$. Подставим в выражение: $log_2 125 = log_2(5^3)$.

Вынесем показатель степени за знак логарифма: $log_2(5^3) = 3 \cdot log_2 5$.

Подставим $log_2 5 = \frac{1}{b}$: $3 \cdot \frac{1}{b} = \frac{3}{b}$.

Ответ: $\frac{3}{b}$

г) Требуется найти $log_2 \frac{1}{625}$.

Представим $\frac{1}{625}$ в виде степени числа 5. Поскольку $625 = 5^4$, то $\frac{1}{625} = 5^{-4}$. Подставим в выражение: $log_2 \frac{1}{625} = log_2(5^{-4})$.

Вынесем показатель степени за знак логарифма: $log_2(5^{-4}) = -4 \cdot log_2 5$.

Подставим $log_2 5 = \frac{1}{b}$: $-4 \cdot \frac{1}{b} = -\frac{4}{b}$.

Ответ: $-\frac{4}{b}$