Номер 46.10, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§46. Переход к новому основанию логарифма. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 46.10, страница 187.

46.10 a) $\frac{\log_2 56}{\log_{28} 2} - \frac{\log_2 7}{\log_{224} 2}$;

б) $\frac{\log_3 135}{\log_{45} 3} - \frac{\log_3 5}{\log_{1215} 3}$.

a)

Дано выражение: $\frac{\log_2 56}{\log_{28} 2} - \frac{\log_2 7}{\log_{224} 2}$.

Воспользуемся формулой замены основания логарифма: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$. Применим ее к знаменателям дробей:

$\log_{28} 2 = \frac{1}{\log_2 28}$

$\log_{224} 2 = \frac{1}{\log_2 224}$

Подставим эти выражения обратно в исходное:

$\frac{\log_2 56}{\frac{1}{\log_2 28}} - \frac{\log_2 7}{\frac{1}{\log_2 224}} = (\log_2 56)(\log_2 28) - (\log_2 7)(\log_2 224)$.

Теперь применим свойство логарифма произведения $\log_a (bc) = \log_a b + \log_a c$. Для этого разложим числа под логарифмами на множители:

$56 = 8 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7$

$28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$

$224 = 32 \cdot 7 = 2^5 \cdot 7$

Теперь преобразуем логарифмы:

$\log_2 56 = \log_2(2^3 \cdot 7) = \log_2(2^3) + \log_2 7 = 3 + \log_2 7$

$\log_2 28 = \log_2(2^2 \cdot 7) = \log_2(2^2) + \log_2 7 = 2 + \log_2 7$

$\log_2 224 = \log_2(2^5 \cdot 7) = \log_2(2^5) + \log_2 7 = 5 + \log_2 7$

Подставим полученные выражения в наше уравнение:

$(3 + \log_2 7)(2 + \log_2 7) - (\log_2 7)(5 + \log_2 7)$.

Чтобы упростить вычисления, введем замену: пусть $x = \log_2 7$. Тогда выражение примет вид:

$(3 + x)(2 + x) - x(5 + x)$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(6 + 3x + 2x + x^2) - (5x + x^2) = 6 + 5x + x^2 - 5x - x^2 = 6$.

Ответ: 6

б)

Дано выражение: $\frac{\log_3 135}{\log_{45} 3} - \frac{\log_3 5}{\log_{1215} 3}$.

Используем ту же формулу замены основания логарифма $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$ для знаменателей:

$\log_{45} 3 = \frac{1}{\log_3 45}$

$\log_{1215} 3 = \frac{1}{\log_3 1215}$

Подставляем в исходное выражение:

$\frac{\log_3 135}{\frac{1}{\log_3 45}} - \frac{\log_3 5}{\frac{1}{\log_3 1215}} = (\log_3 135)(\log_3 45) - (\log_3 5)(\log_3 1215)$.

Применим свойство логарифма произведения. Разложим числа под логарифмами на множители:

$135 = 27 \cdot 5 = 3^3 \cdot 5$

$45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$

$1215 = 243 \cdot 5 = 3^5 \cdot 5$

Преобразуем логарифмы:

$\log_3 135 = \log_3(3^3 \cdot 5) = \log_3(3^3) + \log_3 5 = 3 + \log_3 5$

$\log_3 45 = \log_3(3^2 \cdot 5) = \log_3(3^2) + \log_3 5 = 2 + \log_3 5$

$\log_3 1215 = \log_3(3^5 \cdot 5) = \log_3(3^5) + \log_3 5 = 5 + \log_3 5$

Подставим эти выражения в наше уравнение:

$(3 + \log_3 5)(2 + \log_3 5) - (\log_3 5)(5 + \log_3 5)$.

Введем замену: пусть $y = \log_3 5$. Выражение примет вид:

$(3 + y)(2 + y) - y(5 + y)$.

Раскроем скобки и упростим:

$(6 + 3y + 2y + y^2) - (5y + y^2) = 6 + 5y + y^2 - 5y - y^2 = 6$.

Ответ: 6