Номер 47.1, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§47. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 47.1, страница 187.

47.1 Постройте график функции:

а) $y = e^x + 4$;

б) $y = e^{-x} + 1$;

в) $y = e^{x - 3}$;

г) $y = e^{x - 2} - 3$.

Для построения графиков данных функций мы будем использовать метод преобразования графика основной показательной функции $y = e^x$.

Основные свойства функции $y = e^x$:

• Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
• Область значений: все положительные действительные числа, $E(y) = (0, +\infty)$.
• График проходит через точку $(0, 1)$, так как $e^0 = 1$.
• Горизонтальная асимптота: ось Ox (прямая $y=0$) при $x \to -\infty$.
• Функция является возрастающей на всей области определения.

а) $y = e^x + 4$

График этой функции можно получить из графика функции $y = e^x$ путем сдвига вверх.

1. Базовый график: Возьмем график функции $y = e^x$.

2. Преобразование: Данная функция имеет вид $y = f(x) + c$, где $f(x) = e^x$ и $c=4$. Это означает, что мы должны выполнить параллельный перенос (сдвиг) графика $y = e^x$ на 4 единицы вверх вдоль оси Oy.

3. Свойства полученного графика:

• Контрольная точка $(0, 1)$ с базового графика перемещается в точку $(0, 1+4) = (0, 5)$.
• Горизонтальная асимптота $y=0$ также смещается на 4 единицы вверх и становится прямой $y=4$.
• Область значений изменяется на $E(y) = (4, +\infty)$.

Построение: Схематично строим график $y = e^x$, проходящий через точку $(0, 1)$ и приближающийся к оси Ox слева. Затем сдвигаем весь график, включая асимптоту, на 4 единицы вверх.

Ответ: График функции $y = e^x + 4$ получается из графика $y = e^x$ сдвигом на 4 единицы вверх. Горизонтальная асимптота — $y=4$.

б) $y = e^{-x} + 1$

График этой функции получается из графика $y = e^x$ в два шага: отражение и сдвиг.

1. Первое преобразование (отражение): Сначала построим график функции $y = e^{-x}$. Это преобразование вида $y=f(-x)$, которое соответствует симметричному отражению графика $y = e^x$ относительно оси Oy. Полученный график будет убывающей функцией, по-прежнему проходящей через точку $(0, 1)$ и имеющей горизонтальную асимптоту $y=0$ (при $x \to +\infty$).

2. Второе преобразование (сдвиг): Теперь к функции $y = e^{-x}$ прибавляется 1. Это сдвиг графика $y = e^{-x}$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

3. Свойства полученного графика:

• Контрольная точка $(0, 1)$ с графика $y = e^{-x}$ перемещается в точку $(0, 1+1) = (0, 2)$.
• Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается на 1 единицу вверх и становится прямой $y=1$.
• Область значений функции: $E(y) = (1, +\infty)$.

Построение: Строим график $y=e^x$. Отражаем его относительно оси Oy, чтобы получить $y=e^{-x}$. Затем сдвигаем полученный график на 1 единицу вверх.

Ответ: График функции $y = e^{-x} + 1$ получается из графика $y = e^x$ путем отражения относительно оси Oy и последующего сдвига на 1 единицу вверх. Горизонтальная асимптота — $y=1$.

в) $y = e^x - 3$

График этой функции можно получить из графика функции $y = e^x$ путем сдвига вниз.

1. Базовый график: $y = e^x$.

2. Преобразование: Функция имеет вид $y = f(x) + c$, где $f(x) = e^x$ и $c=-3$. Это соответствует параллельному переносу графика $y = e^x$ на 3 единицы вниз вдоль оси Oy.

3. Свойства полученного графика:

• Контрольная точка $(0, 1)$ смещается в точку $(0, 1-3) = (0, -2)$.
• Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается на 3 единицы вниз и становится прямой $y=-3$.
• Область значений: $E(y) = (-3, +\infty)$.
• График пересекает ось Ox. Найдем точку пересечения: $e^x - 3 = 0 \implies e^x = 3 \implies x = \ln 3$. Точка пересечения с осью Ox: $(\ln 3, 0)$.

Построение: Схематично строим график $y = e^x$. Затем сдвигаем его на 3 единицы вниз. Проводим новую горизонтальную асимптоту $y=-3$.

Ответ: График функции $y = e^x - 3$ получается из графика $y = e^x$ сдвигом на 3 единицы вниз. Горизонтальная асимптота — $y=-3$.

г) $y = e^{x-2} - 3$

График этой функции получается из графика $y = e^x$ в два шага: горизонтальный и вертикальный сдвиги.

1. Первое преобразование (горизонтальный сдвиг): Сначала построим график функции $y = e^{x-2}$. Это преобразование вида $y=f(x-d)$, где $d=2$. Оно соответствует сдвигу графика $y = e^x$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

• Точка $(0, 1)$ сместится в точку $(0+2, 1) = (2, 1)$.
• Асимптота $y=0$ не изменится.

2. Второе преобразование (вертикальный сдвиг): Теперь из функции $y = e^{x-2}$ вычитается 3. Это сдвиг графика $y = e^{x-2}$ на 3 единицы вниз вдоль оси Oy.

3. Свойства полученного графика:

• Контрольная точка $(2, 1)$ с графика $y = e^{x-2}$ перемещается в точку $(2, 1-3) = (2, -2)$.
• Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается на 3 единицы вниз и становится прямой $y=-3$.
• Область значений: $E(y) = (-3, +\infty)$.

Построение: Строим график $y=e^x$. Сдвигаем его на 2 единицы вправо, чтобы получить $y = e^{x-2}$. Затем сдвигаем полученный график на 3 единицы вниз.

Ответ: График функции $y = e^{x-2} - 3$ получается из графика $y = e^x$ сдвигом на 2 единицы вправо и на 3 единицы вниз. Горизонтальная асимптота — $y=-3$.