Номер 47.8, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§47. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 47.8, страница 188.

47.8 Решите уравнение $f'(x) = a$, если:

а) $f(x) = 3e^{x+4}$, $a = -\frac{3}{e}$;

б) $f(x) = 2 + \frac{1}{3}e^{-6x-13}$, $a = -2$;

в) $f(x) = 2e^{-7x+9}$, $a = -14$;

г) $f(x) = 42 - e^{0.1x-4}$, $a = 0.1$.

а) Дана функция $f(x) = 3e^{x+4}$ и значение производной $a = \frac{3}{e}$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции $(Ce^{u(x)})' = C \cdot e^{u(x)} \cdot u'(x)$.

$f'(x) = (3e^{x+4})' = 3 \cdot e^{x+4} \cdot (x+4)' = 3e^{x+4}$.

Теперь приравняем производную к заданному значению $a$ и решим уравнение:

$3e^{x+4} = \frac{3}{e}$

Разделим обе части на 3: $e^{x+4} = \frac{1}{e}$.

Поскольку $\frac{1}{e} = e^{-1}$, уравнение принимает вид: $e^{x+4} = e^{-1}$.

Приравнивая показатели степени, получаем: $x+4 = -1$, откуда $x = -5$.

Ответ: -5.

б) Дана функция $f(x) = 2 + \frac{1}{3}e^{-6x-13}$ и значение производной $a = -2$.

Найдем производную функции $f(x)$. Производная константы равна нулю.

$f'(x) = (2 + \frac{1}{3}e^{-6x-13})' = 0 + \frac{1}{3}e^{-6x-13} \cdot (-6x-13)' = \frac{1}{3}e^{-6x-13} \cdot (-6) = -2e^{-6x-13}$.

Приравняем производную к $a$ и решим уравнение:

$-2e^{-6x-13} = -2$

Разделим обе части на -2: $e^{-6x-13} = 1$.

Так как $1 = e^0$, имеем: $e^{-6x-13} = e^0$.

Приравнивая показатели степени, получаем: $-6x-13 = 0$, откуда $-6x = 13$ и $x = -\frac{13}{6}$.

Ответ: $-\frac{13}{6}$.

в) Дана функция $f(x) = 2e^{-7x+9}$ и значение производной $a = -14$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (2e^{-7x+9})' = 2 \cdot e^{-7x+9} \cdot (-7x+9)' = 2e^{-7x+9} \cdot (-7) = -14e^{-7x+9}$.

Приравняем производную к $a$ и решим уравнение:

$-14e^{-7x+9} = -14$

Разделим обе части на -14: $e^{-7x+9} = 1$.

Так как $1 = e^0$, имеем: $e^{-7x+9} = e^0$.

Приравнивая показатели степени, получаем: $-7x+9 = 0$, откуда $-7x = -9$ и $x = \frac{9}{7}$.

Ответ: $\frac{9}{7}$.

г) Дана функция $f(x) = 42 - e^{0.1x-4}$ и значение производной $a = 0.1$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (42 - e^{0.1x-4})' = 0 - e^{0.1x-4} \cdot (0.1x-4)' = -e^{0.1x-4} \cdot 0.1 = -0.1e^{0.1x-4}$.

Приравняем производную к $a$ и решим уравнение:

$-0.1e^{0.1x-4} = 0.1$

Разделим обе части на -0.1: $e^{0.1x-4} = -1$.

Показательная функция $e^y$ всегда положительна ($e^y > 0$) для любого действительного аргумента $y$. Следовательно, уравнение $e^{0.1x-4} = -1$ не имеет решений в действительных числах.

Ответ: нет корней.