Номер 47.4, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§47. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 47.4, страница 188.

47.4 a) $y = e^{3x-1}$, $x_0 = \frac{1}{3}$;

б) $y = 3e^{6+x}$, $x_0 = -5$;

в) $y = e^{4-9x}$, $x_0 = \frac{4}{9}$;

г) $y = e^{0,5x-3}$, $x_0 = 4.

а) Чтобы найти значение производной функции $y = e^{3x-1}$ в точке $x_0 = \frac{1}{3}$, сначала необходимо найти производную этой функции. Это сложная функция, и ее производная находится по правилу: $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.
В данном случае $u(x) = 3x-1$, а производная внутренней функции $u'(x) = (3x-1)' = 3$.
Следовательно, производная функции $y$ равна:
$y' = (e^{3x-1})' = e^{3x-1} \cdot (3x-1)' = 3e^{3x-1}$.
Теперь подставим значение $x_0 = \frac{1}{3}$ в выражение для производной:
$y'(\frac{1}{3}) = 3e^{3 \cdot \frac{1}{3} - 1} = 3e^{1-1} = 3e^0 = 3 \cdot 1 = 3$.
Ответ: 3

б) Дана функция $y = 3e^{6+x}$ и точка $x_0 = -5$.
Найдем производную функции, используя правило вынесения константы за знак производной и правило дифференцирования сложной функции: $y' = (3e^{6+x})' = 3 \cdot (e^{6+x})'$.
Для функции $e^{6+x}$ внутренняя функция $u(x) = 6+x$, и ее производная $u'(x) = 1$.
Таким образом, $y' = 3 \cdot e^{6+x} \cdot (6+x)' = 3e^{6+x} \cdot 1 = 3e^{6+x}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = -5$:
$y'(-5) = 3e^{6+(-5)} = 3e^{6-5} = 3e^1 = 3e$.
Ответ: $3e$

в) Дана функция $y = e^{4-9x}$ и точка $x_0 = \frac{4}{9}$.
Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции. Внутренняя функция $u(x) = 4-9x$, ее производная $u'(x) = -9$.
$y' = (e^{4-9x})' = e^{4-9x} \cdot (4-9x)' = e^{4-9x} \cdot (-9) = -9e^{4-9x}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{4}{9}$:
$y'(\frac{4}{9}) = -9e^{4 - 9 \cdot \frac{4}{9}} = -9e^{4-4} = -9e^0 = -9 \cdot 1 = -9$.
Ответ: -9

г) Дана функция $y = e^{0.5x-3}$ и точка $x_0 = 4$.
Найдем производную сложной функции. Внутренняя функция $u(x) = 0.5x-3$, ее производная $u'(x) = 0.5$.
$y' = (e^{0.5x-3})' = e^{0.5x-3} \cdot (0.5x-3)' = 0.5e^{0.5x-3}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 4$:
$y'(4) = 0.5e^{0.5 \cdot 4 - 3} = 0.5e^{2-3} = 0.5e^{-1} = \frac{1}{2}e^{-1} = \frac{1}{2e}$.
Ответ: $\frac{1}{2e}$