Номер 47.6, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§47. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 47.6, страница 188.

47.6 Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции $y = h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

a) $h(x) = \left(\frac{1}{e}\right)^x, x_0 = 0;$

в) $h(x) = \frac{1}{e^x} + x^5, x_0 = -1;$

б) $h(x) = e^{-x + 2}, x_0 = 2;$

г) $h(x) = x + e^{2x - 3}, x_0 = 1,5.$

Тангенс угла наклона касательной к графику функции $y = h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке. Это следует из геометрического смысла производной. Таким образом, нам нужно найти $h'(x_0)$ для каждого случая.

Формула: $\tan(\alpha) = h'(x_0)$.

а) Дана функция $h(x) = (\frac{1}{e})^x$ и точка $x_0 = 0$.

Сначала упростим вид функции: $h(x) = (e^{-1})^x = e^{-x}$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования показательной функции и правило для сложной функции: $h'(x) = (e^{-x})' = e^{-x} \cdot (-x)' = -e^{-x}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$: $h'(0) = -e^{-0} = -e^0 = -1$.

Ответ: -1

б) Дана функция $h(x) = e^{-x+2}$ и точка $x_0 = 2$.

Найдем производную функции по правилу дифференцирования сложной функции: $h'(x) = (e^{-x+2})' = e^{-x+2} \cdot (-x+2)' = e^{-x+2} \cdot (-1) = -e^{-x+2}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$: $h'(2) = -e^{-2+2} = -e^0 = -1$.

Ответ: -1

в) Дана функция $h(x) = \frac{1}{e^x} + x^5$ и точка $x_0 = -1$.

Представим функцию в виде $h(x) = e^{-x} + x^5$.

Найдем производную как сумму производных: $h'(x) = (e^{-x})' + (x^5)' = -e^{-x} + 5x^4$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$: $h'(-1) = -e^{-(-1)} + 5(-1)^4 = -e^1 + 5 \cdot 1 = 5 - e$.

Ответ: $5 - e$

г) Дана функция $h(x) = x + e^{2x-3}$ и точка $x_0 = 1,5$.

Найдем производную как сумму производных, используя правило дифференцирования сложной функции для второго слагаемого: $h'(x) = (x)' + (e^{2x-3})' = 1 + e^{2x-3} \cdot (2x-3)' = 1 + 2e^{2x-3}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1,5$: $h'(1,5) = 1 + 2e^{2 \cdot 1,5 - 3} = 1 + 2e^{3 - 3} = 1 + 2e^0 = 1 + 2 \cdot 1 = 3$.

Ответ: 3