Номер 46.16, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§46. Переход к новому основанию логарифма. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 46.16, страница 187.

46.16 Решите неравенство:

a) $\log_9 x^2 + \log_3^2(-x) < 2;$

б) $\log_4 x^2 + \log_2^2(-x) > 6.$

а)

Решим неравенство $\log_9 x^2 + \log_3^2(-x) < 2$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.

$\begin{cases} x^2 > 0 \\ -x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq 0 \\ x < 0 \end{cases} \implies x < 0$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, 0)$.

2. Преобразуем левую часть неравенства, используя свойства логарифмов. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию и свойством логарифма степени.

$\log_9 x^2 = \log_{3^2} x^2 = \frac{1}{2}\log_3 x^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \log_3 |x| = \log_3|x|$.

Поскольку из ОДЗ мы знаем, что $x < 0$, то $|x| = -x$.

Следовательно, $\log_9 x^2 = \log_3(-x)$.

Неравенство принимает вид: $\log_3(-x) + \log_3^2(-x) < 2$.

3. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_3(-x)$.

Неравенство превращается в квадратное: $t + t^2 < 2$, или $t^2 + t - 2 < 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 + t - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = -2$ и $t_2 = 1$.

Так как ветви параболы $y = t^2 + t - 2$ направлены вверх, неравенство $t^2 + t - 2 < 0$ выполняется между корнями: $-2 < t < 1$.

4. Вернемся к исходной переменной:

$-2 < \log_3(-x) < 1$.

Это двойное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} \log_3(-x) > -2 \\ \log_3(-x) < 1 \end{cases}$

Так как основание логарифма $3 > 1$, при потенцировании знак неравенства сохраняется:

$\begin{cases} -x > 3^{-2} \\ -x < 3^1 \end{cases} \implies \begin{cases} -x > \frac{1}{9} \\ -x < 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -\frac{1}{9} \\ x > -3 \end{cases}$

Получаем интервал $-3 < x < -\frac{1}{9}$.

5. Сравним полученное решение с ОДЗ. Интервал $(-3, -1/9)$ полностью входит в область допустимых значений $x < 0$.

Ответ: $x \in (-3, -1/9)$.

б)

Решим неравенство $\log_4 x^2 + \log_2^2(-x) > 6$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

$\begin{cases} x^2 > 0 \\ -x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq 0 \\ x < 0 \end{cases} \implies x < 0$.

ОДЗ: $x \in (-\infty, 0)$.

2. Преобразуем левую часть неравенства.

$\log_4 x^2 = \log_{2^2} x^2 = \frac{1}{2}\log_2 x^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \log_2 |x| = \log_2|x|$.

Так как $x < 0$, то $|x| = -x$.

Таким образом, $\log_4 x^2 = \log_2(-x)$.

Неравенство принимает вид: $\log_2(-x) + \log_2^2(-x) > 6$.

3. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2(-x)$.

Получим квадратное неравенство: $t + t^2 > 6$, или $t^2 + t - 6 > 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 + t - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = -3$ и $t_2 = 2$.

Ветви параболы $y = t^2 + t - 6$ направлены вверх, поэтому неравенство $t^2 + t - 6 > 0$ выполняется вне интервала между корнями: $t < -3$ или $t > 2$.

4. Вернемся к исходной переменной. Получаем совокупность двух неравенств:

$\left[\begin{array}{l} \log_2(-x) < -3 \\ \log_2(-x) > 2 \end{array}\right.$

Так как основание логарифма $2 > 1$, при потенцировании знак неравенства сохраняется:

$\left[\begin{array}{l} -x < 2^{-3} \\ -x > 2^2 \end{array}\right. \implies \left[\begin{array}{l} -x < \frac{1}{8} \\ -x > 4 \end{array}\right. \implies \left[\begin{array}{l} x > -\frac{1}{8} \\ x < -4 \end{array}\right.$

5. Учтем ОДЗ $x < 0$.

Для первого случая $x > -1/8$, с учетом ОДЗ получаем $-1/8 < x < 0$.

Для второго случая $x < -4$, с учетом ОДЗ получаем $x < -4$.

Объединяя эти два интервала, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-1/8, 0)$.