Номер 47.5, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§47. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 47.5, страница 188.

47.5 Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

а) $f(x) = \sqrt[3]{x} \cdot e^x, x_0 = 1;$

б) $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{e^x}, x_0 = 1;$

в) $f(x) = 4e^x + 3, x_0 = -2;$

г) $f(x) = 0,1e^x - 10x, x_0 = 0.$

Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

а) $f(x) = \sqrt[3]{x} \cdot e^x, x_0 = 1$

Для нахождения производной функции, представленной в виде произведения двух функций $u(x) = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}$ и $v(x) = e^x$, воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Находим производные функций $u(x)$ и $v(x)$:

$u'(x) = (x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{1/3-1} = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

$v'(x) = (e^x)' = e^x$

Теперь находим производную исходной функции:

$f'(x) = (\sqrt[3]{x} \cdot e^x)' = (\sqrt[3]{x})' \cdot e^x + \sqrt[3]{x} \cdot (e^x)' = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \cdot e^x + \sqrt[3]{x} \cdot e^x = e^x \left(\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} + \sqrt[3]{x}\right)$.

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 1$:

$k = f'(1) = e^1 \left(\frac{1}{3\sqrt[3]{1^2}} + \sqrt[3]{1}\right) = e \left(\frac{1}{3} + 1\right) = e \cdot \frac{4}{3} = \frac{4e}{3}$.

Ответ: $\frac{4e}{3}$.

б) $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{e^x}, x_0 = 1$

Для нахождения производной функции, представленной в виде частного двух функций $u(x) = \sqrt{x}$ и $v(x) = e^x$, воспользуемся правилом дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Находим производные функций $u(x)$ и $v(x)$:

$u'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$v'(x) = (e^x)' = e^x$

Находим производную исходной функции:

$f'(x) = \left(\frac{\sqrt{x}}{e^x}\right)' = \frac{(\sqrt{x})' \cdot e^x - \sqrt{x} \cdot (e^x)'}{(e^x)^2} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot e^x - \sqrt{x} \cdot e^x}{e^{2x}}$.

Вынесем $e^x$ за скобки в числителе и сократим дробь:

$f'(x) = \frac{e^x \left(\frac{1}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x}\right)}{e^{2x}} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x}}{e^x}$.

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 1$:

$k = f'(1) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{1}} - \sqrt{1}}{e^1} = \frac{\frac{1}{2} - 1}{e} = \frac{-1/2}{e} = -\frac{1}{2e}$.

Ответ: $-\frac{1}{2e}$.

в) $f(x) = 4e^x + 3, x_0 = -2$

Находим производную функции, используя правило дифференцирования суммы и то, что производная константы равна нулю:

$f'(x) = (4e^x + 3)' = (4e^x)' + (3)' = 4(e^x)' + 0 = 4e^x$.

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = -2$:

$k = f'(-2) = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}$.

Ответ: $4e^{-2}$.

г) $f(x) = 0,1e^x - 10x, x_0 = 0$

Находим производную функции, используя правило дифференцирования разности:

$f'(x) = (0,1e^x - 10x)' = (0,1e^x)' - (10x)' = 0,1e^x - 10$.

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 0$:

$k = f'(0) = 0,1e^0 - 10$.

Так как $e^0 = 1$, получаем:

$k = 0,1 \cdot 1 - 10 = 0,1 - 10 = -9,9$.

Ответ: $-9,9$.