Номер 47.11, страница 189, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§47. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 47.11, страница 189.

47.11 a) $y = e^{3x-1}, a = \frac{1}{3};$

Б) $y = xe^{-2x+1}, a = 0,5;$

В) $y = \frac{2}{e^x}, a = 0;$

Г) $y = \frac{e^x}{x+1}, a = 0.$

а)

Задача заключается в нахождении уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $a$. Общее уравнение касательной имеет вид: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.

Дана функция $y = e^{3x - 1}$ и точка $a = \frac{1}{3}$.

1. Найдем значение функции в точке $a = \frac{1}{3}$:

$f(a) = f(\frac{1}{3}) = e^{3 \cdot \frac{1}{3} - 1} = e^{1 - 1} = e^0 = 1$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (e^{3x - 1})' = e^{3x - 1} \cdot (3x - 1)' = 3e^{3x - 1}$.

3. Найдем значение производной в точке $a = \frac{1}{3}$:

$f'(a) = f'(\frac{1}{3}) = 3e^{3 \cdot \frac{1}{3} - 1} = 3e^{1 - 1} = 3e^0 = 3$.

4. Подставим найденные значения $f(a) = 1$ и $f'(a) = 3$ в уравнение касательной:

$y = 1 + 3(x - \frac{1}{3})$

$y = 1 + 3x - 1$

$y = 3x$

Ответ: $y = 3x$.

б)

Дана функция $y = xe^{-2x + 1}$ и точка $a = 0,5$.

Уравнение касательной: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.

1. Найдем значение функции в точке $a = 0,5$:

$f(a) = f(0,5) = 0,5 \cdot e^{-2 \cdot 0,5 + 1} = 0,5 \cdot e^{-1 + 1} = 0,5 \cdot e^0 = 0,5$.

2. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x \cdot e^{-2x + 1})' = (x)' \cdot e^{-2x + 1} + x \cdot (e^{-2x + 1})' = 1 \cdot e^{-2x + 1} + x \cdot e^{-2x + 1} \cdot (-2) = e^{-2x + 1} - 2xe^{-2x + 1} = (1 - 2x)e^{-2x + 1}$.

3. Найдем значение производной в точке $a = 0,5$:

$f'(a) = f'(0,5) = (1 - 2 \cdot 0,5)e^{-2 \cdot 0,5 + 1} = (1 - 1)e^0 = 0 \cdot 1 = 0$.

4. Подставим найденные значения $f(a) = 0,5$ и $f'(a) = 0$ в уравнение касательной:

$y = 0,5 + 0 \cdot (x - 0,5)$

$y = 0,5$

Ответ: $y = 0,5$.

в)

Дана функция $y = \frac{2}{e^x}$ и точка $a = 0$. Функцию можно переписать в виде $y = 2e^{-x}$.

Уравнение касательной: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.

1. Найдем значение функции в точке $a = 0$:

$f(a) = f(0) = 2e^{-0} = 2 \cdot 1 = 2$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (2e^{-x})' = 2 \cdot e^{-x} \cdot (-1) = -2e^{-x}$.

3. Найдем значение производной в точке $a = 0$:

$f'(a) = f'(0) = -2e^{-0} = -2 \cdot 1 = -2$.

4. Подставим найденные значения $f(a) = 2$ и $f'(a) = -2$ в уравнение касательной:

$y = 2 + (-2)(x - 0)$

$y = 2 - 2x$

Ответ: $y = 2 - 2x$.

г)

Дана функция $y = \frac{e^x}{x + 1}$ и точка $a = 0$.

Уравнение касательной: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.

1. Найдем значение функции в точке $a = 0$:

$f(a) = f(0) = \frac{e^0}{0 + 1} = \frac{1}{1} = 1$.

2. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \left(\frac{e^x}{x + 1}\right)' = \frac{(e^x)'(x+1) - e^x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{e^x(x+1) - e^x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{e^x x + e^x - e^x}{(x+1)^2} = \frac{xe^x}{(x+1)^2}$.

3. Найдем значение производной в точке $a = 0$:

$f'(a) = f'(0) = \frac{0 \cdot e^0}{(0+1)^2} = \frac{0}{1} = 0$.

4. Подставим найденные значения $f(a) = 1$ и $f'(a) = 0$ в уравнение касательной:

$y = 1 + 0 \cdot (x - 0)$

$y = 1$

Ответ: $y = 1$.