Номер 47.16, страница 189, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§47. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 47.16, страница 189.

47.16 Найдите производную функции:

а) $y = x^2 \ln x$;

б) $y = 3 \ln x + \sin 2x$;

в) $y = \frac{x}{\ln x}$;

г) $y = 2 \cos \frac{x}{2} - 5 \ln x$.

а) Для нахождения производной функции $y = x^2 \ln x$ используется правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$. Пусть $u = x^2$ и $v = \ln x$.
Найдем производные этих функций: $u' = (x^2)' = 2x$ и $v' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.
Подставим найденные производные в формулу:
$y' = u'v + uv' = 2x \cdot \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln x + x$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$y' = x(2 \ln x + 1)$.
Ответ: $y' = x(2 \ln x + 1)$.

б) Для нахождения производной функции $y = 3 \ln x + \sin(2x)$ используется правило производной суммы $(u+v)' = u' + v'$.
Найдем производную первого слагаемого: $(3 \ln x)' = 3 \cdot (\ln x)' = 3 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{x}$.
Для нахождения производной второго слагаемого $\sin(2x)$ применим правило производной сложной функции: $(\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$.
Сложим полученные производные:
$y' = \frac{3}{x} + 2\cos(2x)$.
Ответ: $y' = \frac{3}{x} + 2\cos(2x)$.

в) Для нахождения производной функции $y = \frac{x}{\ln x}$ используется правило производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Пусть $u = x$ и $v = \ln x$.
Найдем производные числителя и знаменателя: $u' = (x)' = 1$ и $v' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.
Подставим в формулу:
$y' = \frac{1 \cdot \ln x - x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{\ln x - 1}{\ln^2 x}$.

г) Для нахождения производной функции $y = 2 \cos\frac{x}{2} - 5 \ln x$ используется правило производной разности $(u-v)' = u' - v'$.
Найдем производную первого члена, используя правило для сложной функции:
$(2\cos\frac{x}{2})' = 2 \cdot (-\sin\frac{x}{2}) \cdot (\frac{x}{2})' = -2\sin\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\sin\frac{x}{2}$.
Найдем производную второго члена:
$(5 \ln x)' = 5 \cdot \frac{1}{x} = \frac{5}{x}$.
Объединяя результаты, получаем:
$y' = -\sin\frac{x}{2} - \frac{5}{x}$.
Ответ: $y' = -\sin\frac{x}{2} - \frac{5}{x}$.