Номер 47.19, страница 190, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§47. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 47.19, страница 190.

Составьте уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$:

47.19 а) $f(x) = x^5 - \ln x, a = 1;$

в) $f(x) = -2x \ln x, a = e;$

б) $f(x) = \frac{\ln x}{x^2}, a = 1;$

г) $f(x) = \sqrt[3]{x} \ln x, a = 1.$

Общая формула уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$ имеет вид:

$y = f(a) + f'(a)(x - a)$

Для каждого случая необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти значение функции в точке касания $f(a)$.
2. Найти производную функции $f'(x)$.
3. Найти значение производной в точке касания $f'(a)$, которое является угловым коэффициентом касательной.
4. Подставить найденные значения $a$, $f(a)$ и $f'(a)$ в общую формулу уравнения касательной и упростить его.

а) Дана функция $f(x) = x^5 - \ln x$ и точка $a = 1$.

1. Найдем значение функции в точке $a=1$:
$f(1) = 1^5 - \ln 1 = 1 - 0 = 1$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^5 - \ln x)' = (x^5)' - (\ln x)' = 5x^4 - \frac{1}{x}$.

3. Найдем значение производной в точке $a=1$:
$f'(1) = 5 \cdot 1^4 - \frac{1}{1} = 5 - 1 = 4$.

4. Подставим найденные значения $a=1$, $f(1)=1$ и $f'(1)=4$ в уравнение касательной:
$y = f(1) + f'(1)(x - 1)$
$y = 1 + 4(x - 1)$.

5. Упростим уравнение:
$y = 1 + 4x - 4$
$y = 4x - 3$.
Ответ: $y = 4x - 3$.

б) Дана функция $f(x) = \frac{\ln x}{x^2}$ и точка $a = 1$.

1. Найдем значение функции в точке $a=1$:
$f(1) = \frac{\ln 1}{1^2} = \frac{0}{1} = 0$.

2. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \left(\frac{\ln x}{x^2}\right)' = \frac{(\ln x)' \cdot x^2 - \ln x \cdot (x^2)'}{(x^2)^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^2 - \ln x \cdot 2x}{x^4} = \frac{x - 2x \ln x}{x^4} = \frac{1 - 2 \ln x}{x^3}$.

3. Найдем значение производной в точке $a=1$:
$f'(1) = \frac{1 - 2 \ln 1}{1^3} = \frac{1 - 2 \cdot 0}{1} = 1$.

4. Подставим найденные значения $a=1$, $f(1)=0$ и $f'(1)=1$ в уравнение касательной:
$y = f(1) + f'(1)(x - 1)$
$y = 0 + 1(x - 1)$.

5. Упростим уравнение:
$y = x - 1$.
Ответ: $y = x - 1$.

в) Дана функция $f(x) = -2x \ln x$ и точка $a = e$.

1. Найдем значение функции в точке $a=e$ (где $e$ - основание натурального логарифма, $\ln e = 1$):
$f(e) = -2e \ln e = -2e \cdot 1 = -2e$.

2. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$f'(x) = (-2x \ln x)' = (-2x)' \cdot \ln x + (-2x) \cdot (\ln x)' = -2 \cdot \ln x - 2x \cdot \frac{1}{x} = -2 \ln x - 2 = -2(\ln x + 1)$.

3. Найдем значение производной в точке $a=e$:
$f'(e) = -2(\ln e + 1) = -2(1 + 1) = -4$.

4. Подставим найденные значения $a=e$, $f(e)=-2e$ и $f'(e)=-4$ в уравнение касательной:
$y = f(e) + f'(e)(x - e)$
$y = -2e + (-4)(x - e)$.

5. Упростим уравнение:
$y = -2e - 4x + 4e$
$y = -4x + 2e$.
Ответ: $y = -4x + 2e$.

г) Дана функция $f(x) = \sqrt[3]{x} \ln x$ и точка $a = 1$.

1. Представим функцию в виде $f(x) = x^{1/3} \ln x$ и найдем ее значение в точке $a=1$:
$f(1) = 1^{1/3} \ln 1 = 1 \cdot 0 = 0$.

2. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования произведения:
$f'(x) = (x^{1/3} \ln x)' = (x^{1/3})' \cdot \ln x + x^{1/3} \cdot (\ln x)' = \frac{1}{3}x^{1/3 - 1} \ln x + x^{1/3} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{3}x^{-2/3} \ln x + x^{1/3 - 1} = \frac{\ln x}{3x^{2/3}} + x^{-2/3}$.

3. Найдем значение производной в точке $a=1$:
$f'(1) = \frac{\ln 1}{3 \cdot 1^{2/3}} + 1^{-2/3} = \frac{0}{3} + 1 = 1$.

4. Подставим найденные значения $a=1$, $f(1)=0$ и $f'(1)=1$ в уравнение касательной:
$y = f(1) + f'(1)(x - 1)$
$y = 0 + 1(x - 1)$.

5. Упростим уравнение:
$y = x - 1$.
Ответ: $y = x - 1$.