Номер 47.22, страница 190, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§47. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 47.22, страница 190.

47.22 a) $y = 2 \ln x^3 - 5x + \frac{x^2}{2}$;

б) $y = \ln \frac{1}{x^3} + x^2 + x + 3.$

а)

Дана функция: $y = 2 \ln x^3 - 5x + \frac{x^2}{2}$.

Для нахождения производной $y'$ сначала упростим функцию, используя свойство логарифма $\ln a^b = b \ln a$:

$y = 2 \cdot (3 \ln x) - 5x + \frac{1}{2}x^2 = 6 \ln x - 5x + \frac{1}{2}x^2$.

Теперь найдем производную как сумму производных каждого слагаемого:

$y' = (6 \ln x)' - (5x)' + (\frac{1}{2}x^2)'$.

Используя табличные производные $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ и $(x^n)' = n x^{n-1}$, получаем:

$y' = 6 \cdot \frac{1}{x} - 5 + \frac{1}{2} \cdot 2x = \frac{6}{x} - 5 + x$.

Ответ: $y' = x - 5 + \frac{6}{x}$.

б)

Дана функция: $y = \ln \frac{1}{x^3} + x^2 + x + 3$.

Упростим функцию, используя свойства логарифма $\ln \frac{1}{a^b} = \ln(a^{-b}) = -b \ln a$:

$y = -3 \ln x + x^2 + x + 3$.

Найдем производную как сумму производных каждого слагаемого:

$y' = (-3 \ln x)' + (x^2)' + (x)' + (3)'$.

Используя табличные производные, а также то, что производная константы равна нулю, получаем:

$y' = -3 \cdot \frac{1}{x} + 2x + 1 + 0 = 2x + 1 - \frac{3}{x}$.

Ответ: $y' = 2x + 1 - \frac{3}{x}$.