Номер 47.21, страница 190, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§47. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 47.21, страница 190.

Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:

47.21 a) $y = x + \ln \frac{1}{x};$

б) $y = x^4 - 4 \ln x.$

a) $y = x + \ln \frac{1}{x}$

1. Найдём область определения функции.

Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$\frac{1}{x} > 0$

Это неравенство выполняется, когда $x > 0$.

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (0; +\infty)$.

2. Упростим функцию.

Используя свойство логарифма $\ln(\frac{1}{a}) = -\ln a$, получаем:

$y = x - \ln x$

3. Найдём производную функции.

$y' = (x - \ln x)' = (x)' - (\ln x)' = 1 - \frac{1}{x}$

4. Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$y' = 0 \implies 1 - \frac{1}{x} = 0$

$1 = \frac{1}{x}$

$x = 1$

Критическая точка $x = 1$ принадлежит области определения функции.

5. Определим промежутки монотонности.

Критическая точка $x=1$ делит область определения $(0; +\infty)$ на два интервала: $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак производной $y' = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$ на каждом интервале.

• При $x \in (0; 1)$, например $x = 0.5$, $y'(0.5) = 1 - \frac{1}{0.5} = 1 - 2 = -1 < 0$. Следовательно, на этом интервале функция убывает.
• При $x \in (1; +\infty)$, например $x = 2$, $y'(2) = 1 - \frac{1}{2} = 0.5 > 0$. Следовательно, на этом интервале функция возрастает.

6. Найдём экстремумы.

В точке $x = 1$ производная меняет знак с минуса на плюс. Значит, $x=1$ является точкой минимума.

Найдём значение функции в этой точке:

$y_{min} = y(1) = 1 + \ln \frac{1}{1} = 1 + \ln 1 = 1 + 0 = 1$.

Таким образом, точка минимума функции $(1; 1)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(0; 1]$, возрастает на промежутке $[1; +\infty)$; $x_{min} = 1$, $y_{min} = 1$.

б) $y = x^4 - 4 \ln x$

1. Найдём область определения функции.

Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.

Область определения функции: $D(y) = (0; +\infty)$.

2. Найдём производную функции.

$y' = (x^4 - 4 \ln x)' = (x^4)' - (4 \ln x)' = 4x^3 - 4 \cdot \frac{1}{x} = 4x^3 - \frac{4}{x}$

3. Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю:

$y' = 0 \implies 4x^3 - \frac{4}{x} = 0$

Приведём к общему знаменателю: $\frac{4x^4 - 4}{x} = 0$.

Так как $x \neq 0$ (из области определения), то $4x^4 - 4 = 0$.

$4x^4 = 4$

$x^4 = 1$

Учитывая, что $x > 0$, получаем единственный корень $x = 1$.

Критическая точка $x = 1$ принадлежит области определения.

4. Определим промежутки монотонности.

Точка $x=1$ делит область определения $(0; +\infty)$ на два интервала: $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак производной $y' = \frac{4(x^4-1)}{x}$ на каждом из них.

• При $x \in (0; 1)$, например $x = 0.5$, $y'(0.5) = \frac{4(0.5^4-1)}{0.5} = \frac{4(0.0625-1)}{0.5} < 0$. Значит, на этом интервале функция убывает.
• При $x \in (1; +\infty)$, например $x = 2$, $y'(2) = \frac{4(2^4-1)}{2} = \frac{4(16-1)}{2} > 0$. Значит, на этом интервале функция возрастает.

5. Найдём экстремумы.

В точке $x = 1$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, $x=1$ является точкой минимума.

Найдём значение функции в точке минимума:

$y_{min} = y(1) = 1^4 - 4 \ln 1 = 1 - 4 \cdot 0 = 1$.

Точка минимума функции $(1; 1)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(0; 1]$, возрастает на промежутке $[1; +\infty)$; $x_{min} = 1$, $y_{min} = 1$.