Номер 47.26, страница 191, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§47. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 47.26, страница 191.

47.26 Проведите касательную к графику заданной функции так, чтобы она проходила через начало координат:

a) $y = e^{x/2};$

б) $y = \ln x;$

в) $y = e^{x/3};$

г) $y = \ln x^3.$

Общий подход к решению задачи заключается в следующем. Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

По условию, касательная должна проходить через начало координат, то есть через точку $(0, 0)$. Подставим эти координаты в уравнение касательной:

$0 = f(x_0) + f'(x_0)(0 - x_0)$

$0 = f(x_0) - x_0 f'(x_0)$

Отсюда получаем условие для нахождения абсциссы точки касания $x_0$:

$f(x_0) = x_0 f'(x_0)$

После нахождения $x_0$, угловой коэффициент касательной $k$ будет равен $f'(x_0)$, а уравнение самой касательной, проходящей через начало координат, будет $y = kx$.

а) $y = e^{\frac{x}{2}}$

1. Заданная функция $f(x) = e^{\frac{x}{2}}$. Найдем её производную:

$f'(x) = (e^{\frac{x}{2}})' = e^{\frac{x}{2}} \cdot (\frac{x}{2})' = \frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}$

2. Подставим функцию и её производную в условие $f(x_0) = x_0 f'(x_0)$:

$e^{\frac{x_0}{2}} = x_0 \cdot \frac{1}{2}e^{\frac{x_0}{2}}$

Так как $e^{\frac{x_0}{2}} > 0$ для любого действительного $x_0$, можно разделить обе части уравнения на $e^{\frac{x_0}{2}}$:

$1 = \frac{x_0}{2}$

Отсюда находим абсциссу точки касания: $x_0 = 2$.

3. Теперь найдем угловой коэффициент касательной $k$ в этой точке:

$k = f'(2) = \frac{1}{2}e^{\frac{2}{2}} = \frac{1}{2}e$.

4. Уравнение касательной, проходящей через начало координат с угловым коэффициентом $k = \frac{e}{2}$, имеет вид:

$y = \frac{e}{2}x$.

Ответ: $y = \frac{e}{2}x$.

б) $y = \ln x$

1. Заданная функция $f(x) = \ln x$. Область определения $x > 0$. Производная функции:

$f'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.

2. Подставим в условие $f(x_0) = x_0 f'(x_0)$:

$\ln x_0 = x_0 \cdot \frac{1}{x_0}$

$\ln x_0 = 1$

Отсюда абсцисса точки касания: $x_0 = e$.

3. Находим угловой коэффициент:

$k = f'(e) = \frac{1}{e}$.

4. Уравнение касательной:

$y = \frac{1}{e}x$.

Ответ: $y = \frac{1}{e}x$.

в) $y = e^{\frac{x}{3}}$

1. Заданная функция $f(x) = e^{\frac{x}{3}}$. Производная функции:

$f'(x) = (e^{\frac{x}{3}})' = e^{\frac{x}{3}} \cdot (\frac{x}{3})' = \frac{1}{3}e^{\frac{x}{3}}$.

2. Подставляем в условие $f(x_0) = x_0 f'(x_0)$:

$e^{\frac{x_0}{3}} = x_0 \cdot \frac{1}{3}e^{\frac{x_0}{3}}$

Разделив на $e^{\frac{x_0}{3}} > 0$, получаем:

$1 = \frac{x_0}{3}$

Абсцисса точки касания: $x_0 = 3$.

3. Угловой коэффициент:

$k = f'(3) = \frac{1}{3}e^{\frac{3}{3}} = \frac{1}{3}e$.

4. Уравнение касательной:

$y = \frac{e}{3}x$.

Ответ: $y = \frac{e}{3}x$.

г) $y = \ln x^3$

1. Заданная функция $f(x) = \ln x^3$. Область определения $x^3 > 0$, что означает $x > 0$. Используя свойство логарифма, упростим функцию: $f(x) = 3 \ln x$. Найдем производную:

$f'(x) = (3 \ln x)' = 3 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{x}$.

2. Подставляем в условие $f(x_0) = x_0 f'(x_0)$:

$3 \ln x_0 = x_0 \cdot \frac{3}{x_0}$

$3 \ln x_0 = 3$

$\ln x_0 = 1$

Абсцисса точки касания: $x_0 = e$.

3. Угловой коэффициент:

$k = f'(e) = \frac{3}{e}$.

4. Уравнение касательной:

$y = \frac{3}{e}x$.

Ответ: $y = \frac{3}{e}x$.