Номер 48.3, страница 192, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§48. Первообразная. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 48.3, страница 192.

Для функции $y = f(x)$ найдите хотя бы одну первообразную:

48.3 a) $f(x) = -\frac{1}{x^2}$;

б) $f(x) = \frac{7}{x^2}$.

а) Для того чтобы найти первообразную для функции $f(x)$, необходимо найти такую функцию $F(x)$, производная которой $F'(x)$ будет равна $f(x)$. Процесс нахождения первообразной является операцией, обратной дифференцированию, то есть интегрированием.

Запишем данную функцию $f(x) = -\frac{1}{x^2}$ в виде степенной функции: $f(x) = -x^{-2}$.

Для нахождения первообразной степенной функции $x^n$ используется формула: $F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, где $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования). В нашем случае $n = -2$.

Применим эту формулу:

$F(x) = \int \left(-x^{-2}\right) dx = -\int x^{-2} dx = -\left(\frac{x^{-2+1}}{-2+1}\right) + C = -\left(\frac{x^{-1}}{-1}\right) + C = x^{-1} + C = \frac{1}{x} + C$.

В задаче требуется найти хотя бы одну первообразную, поэтому мы можем выбрать любое значение для константы $C$. Самый простой вариант — положить $C=0$.

В этом случае одна из первообразных для данной функции: $F(x) = \frac{1}{x}$.

Для проверки можно найти производную от полученной функции: $F'(x) = \left(\frac{1}{x}\right)' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$, что полностью совпадает с исходной функцией $f(x)$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{x}$.

б) Аналогично найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{7}{x^2}$.

Представим функцию в виде $f(x) = 7x^{-2}$.

Используем ту же формулу для первообразной степенной функции. Константу $7$ можно вынести за знак интеграла:

$F(x) = \int 7x^{-2} dx = 7\int x^{-2} dx = 7\left(\frac{x^{-2+1}}{-2+1}\right) + C = 7\left(\frac{x^{-1}}{-1}\right) + C = -7x^{-1} + C = -\frac{7}{x} + C$.

Так как нам нужна лишь одна первообразная, выберем $C=0$.

Тогда первообразная имеет вид: $F(x) = -\frac{7}{x}$.

Проверим результат: $F'(x) = \left(-\frac{7}{x}\right)' = -7(x^{-1})' = -7(-1 \cdot x^{-2}) = 7x^{-2} = \frac{7}{x^2}$, что совпадает с исходной функцией $f(x)$.

Ответ: $F(x) = -\frac{7}{x}$.