Номер 47.9, страница 189, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§47. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 47.9, страница 189.

47.9 Решите неравенство $g'(x) < a$, если:

а) $g(x) = 6 - \frac{1}{2}e^{2x-3}, a = \frac{1}{e^3};$

б) $g(x) = x + e^{4x-3}, a = 5;$

в) $g(x) = \frac{1}{3}e^{3x+5}, a = \frac{1}{e};$

г) $g(x) = e^{9x+21} - x, a = 8.$

а) Дана функция $g(x) = 6 - \frac{1}{2}e^{2x-3}$ и значение $a = \frac{1}{e^3}$. Требуется решить неравенство $g'(x) < a$.
Сначала найдем производную функции $g(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции:
$g'(x) = \left(6 - \frac{1}{2}e^{2x-3}\right)' = (6)' - \left(\frac{1}{2}e^{2x-3}\right)' = 0 - \frac{1}{2}e^{2x-3} \cdot (2x-3)' = -\frac{1}{2}e^{2x-3} \cdot 2 = -e^{2x-3}$.
Теперь подставим найденную производную в неравенство:
$-e^{2x-3} < \frac{1}{e^3}$.
Используя свойство степени, запишем $\frac{1}{e^3} = e^{-3}$:
$-e^{2x-3} < e^{-3}$.
Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$e^{2x-3} > -e^{-3}$.
Левая часть неравенства, $e^{2x-3}$, является показательной функцией, которая всегда принимает только положительные значения ($e^{y} > 0$ для любого действительного $y$). Правая часть, $-e^{-3}$, является отрицательным числом. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного. Следовательно, данное неравенство выполняется для всех действительных значений $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Дана функция $g(x) = x + e^{4x-3}$ и значение $a = 5$.
Найдем производную функции $g(x)$:
$g'(x) = (x + e^{4x-3})' = (x)' + (e^{4x-3})' = 1 + e^{4x-3} \cdot (4x-3)' = 1 + 4e^{4x-3}$.
Решим неравенство $g'(x) < a$:
$1 + 4e^{4x-3} < 5$.
Вычтем 1 из обеих частей:
$4e^{4x-3} < 4$.
Разделим обе части на 4:
$e^{4x-3} < 1$.
Представим 1 в виде степени с основанием $e$: $1 = e^0$.
$e^{4x-3} < e^0$.
Так как основание $e > 1$, показательная функция $y=e^t$ является возрастающей. Поэтому можно перейти к неравенству для показателей, сохранив знак:
$4x - 3 < 0$.
$4x < 3$.
$x < \frac{3}{4}$.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{3}{4})$.

в) Дана функция $g(x) = \frac{1}{3}e^{3x+5}$ и значение $a = \frac{1}{e}$.
Найдем производную функции $g(x)$:
$g'(x) = \left(\frac{1}{3}e^{3x+5}\right)' = \frac{1}{3} (e^{3x+5})' = \frac{1}{3}e^{3x+5} \cdot (3x+5)' = \frac{1}{3}e^{3x+5} \cdot 3 = e^{3x+5}$.
Решим неравенство $g'(x) < a$:
$e^{3x+5} < \frac{1}{e}$.
Запишем правую часть как $e^{-1}$:
$e^{3x+5} < e^{-1}$.
Так как основание $e > 1$, переходим к неравенству для показателей:
$3x + 5 < -1$.
$3x < -1 - 5$.
$3x < -6$.
$x < -2$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2)$.

г) Дана функция $g(x) = e^{9x+21} - x$ и значение $a = 8$.
Найдем производную функции $g(x)$:
$g'(x) = (e^{9x+21} - x)' = (e^{9x+21})' - (x)' = e^{9x+21} \cdot (9x+21)' - 1 = 9e^{9x+21} - 1$.
Решим неравенство $g'(x) < a$:
$9e^{9x+21} - 1 < 8$.
Прибавим 1 к обеим частям:
$9e^{9x+21} < 9$.
Разделим обе части на 9:
$e^{9x+21} < 1$.
Представим 1 как $e^0$:
$e^{9x+21} < e^0$.
Так как основание $e > 1$, переходим к неравенству для показателей:
$9x + 21 < 0$.
$9x < -21$.
$x < -\frac{21}{9}$.
Сократим дробь:
$x < -\frac{7}{3}$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{7}{3})$.