Номер 46.15, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§46. Переход к новому основанию логарифма. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 46.15, страница 187.

46.15 a) $\log_{2x+1}(5 + 8x - 4x^2) + \log_{5-2x}(1 + 4x + 4x^2) = 4;$

б) $\log_{3x+7}(9 + 12x + 4x^2) = 4 - \log_{2x+3}(6x^2 + 23x + 21).$

а) $\log_{2x+1}(5 + 8x - 4x^2) + \log_{5-2x}(1 + 4x + 4x^2) = 4$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Основания логарифмов должны быть положительны и не равны единице, а подлогарифмические выражения должны быть положительны.

$\begin{cases} 2x+1 > 0 \\ 2x+1 \neq 1 \\ 5-2x > 0 \\ 5-2x \neq 1 \\ 5 + 8x - 4x^2 > 0 \\ 1 + 4x + 4x^2 > 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x > -1/2 \\ x \neq 0 \\ x < 5/2 \\ x \neq 2 \\ -(4x^2 - 8x - 5) > 0 \\ (2x+1)^2 > 0 \end{cases}$

Рассмотрим неравенство $4x^2 - 8x - 5 < 0$. Корни уравнения $4x^2 - 8x - 5 = 0$ равны $x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4(4)(-5)}}{8} = \frac{8 \pm \sqrt{144}}{8} = \frac{8 \pm 12}{8}$, то есть $x_1 = 20/8 = 5/2$ и $x_2 = -4/8 = -1/2$. Следовательно, неравенство выполняется при $x \in (-1/2, 5/2)$.

Неравенство $(2x+1)^2 > 0$ выполняется для всех $x \neq -1/2$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (-1/2, 5/2) \setminus \{0, 2\}$.

2. Упростим подлогарифмические выражения.
$5 + 8x - 4x^2 = -(4x^2 - 8x - 5) = -(2x-5)(2x+1) = (5-2x)(2x+1)$.
$1 + 4x + 4x^2 = (2x+1)^2$.

3. Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$\log_{2x+1}((2x+1)(5-2x)) + \log_{5-2x}((2x+1)^2) = 4$

4. Используем свойства логарифмов $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$ и $\log_a(b^k) = k \log_a b$:

$\log_{2x+1}(2x+1) + \log_{2x+1}(5-2x) + 2\log_{5-2x}(2x+1) = 4$

$1 + \log_{2x+1}(5-2x) + 2\log_{5-2x}(2x+1) = 4$

5. Сделаем замену. Пусть $t = \log_{2x+1}(5-2x)$. Тогда $\log_{5-2x}(2x+1) = \frac{1}{t}$.

$1 + t + \frac{2}{t} = 4$

$t + \frac{2}{t} - 3 = 0$

Умножим на $t \neq 0$ (в ОДЗ основания не равны 1, поэтому аргументы тоже не равны 1, значит $t \neq 0$):

$t^2 - 3t + 2 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = 2$.

6. Вернемся к исходной переменной.

Случай 1: $t=1$.

$\log_{2x+1}(5-2x) = 1$

$5-2x = 2x+1$

$4 = 4x$

$x = 1$. Этот корень принадлежит ОДЗ.

Случай 2: $t=2$.

$\log_{2x+1}(5-2x) = 2$

$5-2x = (2x+1)^2$

$5-2x = 4x^2 + 4x + 1$

$4x^2 + 6x - 4 = 0$

$2x^2 + 3x - 2 = 0$

Дискриминант $D = 3^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25$.

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}$

$x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Этот корень принадлежит ОДЗ.

$x_2 = \frac{-8}{4} = -2$. Этот корень не принадлежит ОДЗ, так как $-2 < -1/2$.

Ответ: $1; 1/2$.

б) $\log_{3x+7}(9 + 12x + 4x^2) = 4 - \log_{2x+3}(6x^2 + 23x + 21)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

$\begin{cases} 3x+7 > 0 \\ 3x+7 \neq 1 \\ 2x+3 > 0 \\ 2x+3 \neq 1 \\ 9 + 12x + 4x^2 > 0 \\ 6x^2 + 23x + 21 > 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x > -7/3 \\ x \neq -2 \\ x > -3/2 \\ x \neq -1 \\ (2x+3)^2 > 0 \\ (2x+3)(3x+7) > 0 \end{cases}$

Из $x > -7/3$ (т.е. $x \approx -2.33$) и $x > -3/2$ (т.е. $x = -1.5$) следует, что $x > -3/2$. При этом условии неравенства $(2x+3)^2 > 0$ и $(2x+3)(3x+7) > 0$ выполняются автоматически. Условие $x \neq -2$ также выполняется.
Остается ОДЗ: $x \in (-3/2, \infty) \setminus \{-1\}$.

2. Преобразуем уравнение. Перенесем второй логарифм в левую часть:

$\log_{3x+7}(9 + 12x + 4x^2) + \log_{2x+3}(6x^2 + 23x + 21) = 4$

Упростим подлогарифмические выражения:

$9 + 12x + 4x^2 = (2x+3)^2$

$6x^2 + 23x + 21 = (2x+3)(3x+7)$

3. Подставим в уравнение:

$\log_{3x+7}((2x+3)^2) + \log_{2x+3}((2x+3)(3x+7)) = 4$

4. Используем свойства логарифмов:

$2\log_{3x+7}(2x+3) + \log_{2x+3}(2x+3) + \log_{2x+3}(3x+7) = 4$

$2\log_{3x+7}(2x+3) + 1 + \log_{2x+3}(3x+7) = 4$

5. Сделаем замену. Пусть $t = \log_{3x+7}(2x+3)$. Тогда $\log_{2x+3}(3x+7) = \frac{1}{t}$.

$2t + 1 + \frac{1}{t} = 4$

$2t + \frac{1}{t} - 3 = 0$

Умножим на $t \neq 0$:

$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1$.

$t = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{4} = \frac{3 \pm 1}{4}$

$t_1 = \frac{4}{4} = 1$, $t_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

6. Вернемся к исходной переменной.

Случай 1: $t=1$.

$\log_{3x+7}(2x+3) = 1$

$2x+3 = 3x+7$

$x = -4$. Этот корень не принадлежит ОДЗ, так как $-4 < -3/2$.

Случай 2: $t=1/2$.

$\log_{3x+7}(2x+3) = 1/2$

$(3x+7)^{1/2} = 2x+3$

$\sqrt{3x+7} = 2x+3$

Возведем в квадрат обе части. В ОДЗ обе части неравенства положительны, поэтому это преобразование является равносильным.

$3x+7 = (2x+3)^2$

$3x+7 = 4x^2 + 12x + 9$

$4x^2 + 9x + 2 = 0$

Дискриминант $D = 9^2 - 4(4)(2) = 81 - 32 = 49$.

$x = \frac{-9 \pm \sqrt{49}}{8} = \frac{-9 \pm 7}{8}$

$x_1 = \frac{-2}{8} = -1/4$. Этот корень принадлежит ОДЗ $(-3/2, \infty) \setminus \{-1\}$.

$x_2 = \frac{-16}{8} = -2$. Этот корень не принадлежит ОДЗ, так как $-2 < -3/2$.

Ответ: $-1/4$.