Номер 46.12, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§46. Переход к новому основанию логарифма. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 46.12, страница 187.

46.12 Известно, что $log_2 5 = a$, $log_2 3 = b$. Вычислите:

а) $log_3 15$;

б) $log_8 75$;

в) $log_{16} 45$;

г) $log_{15} 12$.

а) Чтобы вычислить $\log_3 15$, воспользуемся формулой перехода к новому основанию. Перейдем к основанию 2, так как нам даны логарифмы по этому основанию: $\log_3 15 = \frac{\log_2 15}{\log_2 3}$. Теперь преобразуем числитель, используя свойство логарифма произведения ($15 = 3 \cdot 5$): $\log_2 15 = \log_2 (3 \cdot 5) = \log_2 3 + \log_2 5$. Подставим известные значения $\log_2 5 = a$ и $\log_2 3 = b$: $\log_3 15 = \frac{\log_2 3 + \log_2 5}{\log_2 3} = \frac{b + a}{b}$.
Ответ: $\frac{a+b}{b}$

б) Для вычисления $\log_8 75$ перейдем к основанию 2: $\log_8 75 = \frac{\log_2 75}{\log_2 8}$. Преобразуем знаменатель: $\log_2 8 = \log_2 (2^3) = 3$. Преобразуем числитель, разложив $75$ на множители ($75 = 3 \cdot 25 = 3 \cdot 5^2$): $\log_2 75 = \log_2 (3 \cdot 5^2) = \log_2 3 + \log_2 (5^2) = \log_2 3 + 2 \log_2 5$. Подставив известные значения $a$ и $b$, получаем: $\log_2 75 = b + 2a$. Следовательно, $\log_8 75 = \frac{2a + b}{3}$.
Ответ: $\frac{2a+b}{3}$

в) Для вычисления $\log_{16} 45$ перейдем к основанию 2: $\log_{16} 45 = \frac{\log_2 45}{\log_2 16}$. Преобразуем знаменатель: $\log_2 16 = \log_2 (2^4) = 4$. Преобразуем числитель, разложив $45$ на множители ($45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$): $\log_2 45 = \log_2 (3^2 \cdot 5) = \log_2 (3^2) + \log_2 5 = 2 \log_2 3 + \log_2 5$. Подставив известные значения $a$ и $b$, получаем: $\log_2 45 = 2b + a$. Следовательно, $\log_{16} 45 = \frac{a + 2b}{4}$.
Ответ: $\frac{a+2b}{4}$

г) Для вычисления $\log_{15} 12$ перейдем к основанию 2: $\log_{15} 12 = \frac{\log_2 12}{\log_2 15}$. Преобразуем числитель, разложив $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$: $\log_2 12 = \log_2 (2^2 \cdot 3) = \log_2 (2^2) + \log_2 3 = 2 + \log_2 3 = 2 + b$. Преобразуем знаменатель, разложив $15 = 3 \cdot 5$: $\log_2 15 = \log_2 (3 \cdot 5) = \log_2 3 + \log_2 5 = b + a$. Следовательно, $\log_{15} 12 = \frac{2 + b}{a + b}$.
Ответ: $\frac{b+2}{a+b}$