Номер 46.11, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§46. Переход к новому основанию логарифма. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 46.11, страница 187.

46.11 Известно, что $\lg 2 = a$, $\lg 3 = b$. Вычислите:

а) $\log_4 12$;

б) $\log_6 18$;

в) $\log_{0.5} 3$;

г) $\log_{\frac{1}{3}} 24$.

Для решения всех пунктов задачи воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $log_x y = \frac{log_z y}{log_z x}$. В нашем случае удобно перейти к десятичному логарифму ($lg$), так как даны значения $lg 2 = a$ и $lg 3 = b$. Также будем использовать свойства логарифмов: $lg(xy) = lg(x) + lg(y)$ и $lg(x^k) = k \cdot lg(x)$.

а) Вычислим $log_4 12$.

Перейдем к основанию 10:

$log_4 12 = \frac{lg 12}{lg 4}$

Разложим числа 12 и 4 на простые множители 2 и 3:

$12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

$4 = 2^2$

Подставим разложения в формулу и применим свойства логарифмов:

$\frac{lg(2^2 \cdot 3)}{lg(2^2)} = \frac{lg(2^2) + lg 3}{2 \cdot lg 2} = \frac{2 \cdot lg 2 + lg 3}{2 \cdot lg 2}$

Теперь подставим известные значения $lg 2 = a$ и $lg 3 = b$:

$\frac{2a + b}{2a}$

Ответ: $\frac{2a + b}{2a}$

б) Вычислим $log_6 18$.

Перейдем к основанию 10:

$log_6 18 = \frac{lg 18}{lg 6}$

Разложим числа 18 и 6 на простые множители 2 и 3:

$18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$

$6 = 2 \cdot 3$

Подставим разложения и применим свойства логарифмов:

$\frac{lg(2 \cdot 3^2)}{lg(2 \cdot 3)} = \frac{lg 2 + lg(3^2)}{lg 2 + lg 3} = \frac{lg 2 + 2 \cdot lg 3}{lg 2 + lg 3}$

Подставим известные значения $a$ и $b$:

$\frac{a + 2b}{a + b}$

Ответ: $\frac{a + 2b}{a + b}$

в) Вычислим $log_{0,5} 3$.

Перейдем к основанию 10:

$log_{0,5} 3 = \frac{lg 3}{lg 0,5}$

Представим 0,5 в виде степени двойки:

$0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$

Подставим это значение в знаменатель и используем свойство логарифма степени:

$\frac{lg 3}{lg(2^{-1})} = \frac{lg 3}{-1 \cdot lg 2} = -\frac{lg 3}{lg 2}$

Подставим известные значения $a$ и $b$:

$-\frac{b}{a}$

Ответ: $-\frac{b}{a}$

г) Вычислим $log_{\frac{1}{3}} 24$.

Перейдем к основанию 10:

$log_{\frac{1}{3}} 24 = \frac{lg 24}{lg(\frac{1}{3})}$

Разложим 24 на простые множители и представим $\frac{1}{3}$ в виде степени:

$24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$

$\frac{1}{3} = 3^{-1}$

Подставим разложения и применим свойства логарифмов:

$\frac{lg(2^3 \cdot 3)}{lg(3^{-1})} = \frac{lg(2^3) + lg 3}{-1 \cdot lg 3} = \frac{3 \cdot lg 2 + lg 3}{-lg 3}$

Подставим известные значения $a$ и $b$:

$\frac{3a + b}{-b} = -\frac{3a + b}{b}$

Ответ: $-\frac{3a + b}{b}$