Номер 45.11, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§45. Логарифмические неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 45.11, страница 184.

45.11 a) $\log_{\frac{1}{3}} x + \log_{\frac{1}{3}} (4 - x) > -1;$

б) $\log_2 (7 - x) + \log_2 x \ge 1 + \log_2 3;$

в) $\lg(7 - x) + \lg x > 1;$

г) $\log_{\frac{1}{2}} x + \log_{\frac{1}{2}} (10 - x) \ge -1 + \log_{\frac{1}{2}} 4,5.$

а) $ \log_{\frac{1}{3}} x + \log_{\frac{1}{3}} (4 - x) > -1 $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$ \begin{cases} x > 0 \\ 4 - x > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x > 0 \\ x < 4 \end{cases} $
ОДЗ: $ x \in (0; 4) $.

2. Преобразуем неравенство, используя свойство суммы логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) $:
$ \log_{\frac{1}{3}} (x(4 - x)) > -1 $

3. Представим правую часть неравенства в виде логарифма с тем же основанием:
$ -1 = \log_{\frac{1}{3}} ((\frac{1}{3})^{-1}) = \log_{\frac{1}{3}} 3 $
Получаем неравенство:
$ \log_{\frac{1}{3}} (x(4 - x)) > \log_{\frac{1}{3}} 3 $

4. Так как основание логарифма $ \frac{1}{3} < 1 $, при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:
$ x(4 - x) < 3 $
$ 4x - x^2 < 3 $
$ x^2 - 4x + 3 > 0 $

5. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $ x^2 - 4x + 3 = 0 $. По теореме Виета, корни $ x_1 = 1, x_2 = 3 $.
Парабола $ y = x^2 - 4x + 3 $ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется при $ x < 1 $ или $ x > 3 $.
Решение: $ x \in (-\infty; 1) \cup (3; \infty) $.

6. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$ ((-\infty; 1) \cup (3; \infty)) \cap (0; 4) = (0; 1) \cup (3; 4) $

Ответ: $ x \in (0; 1) \cup (3; 4) $

б) $ \log_2 (7 - x) + \log_2 x \ge 1 + \log_2 3 $

1. Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} 7 - x > 0 \\ x > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x < 7 \\ x > 0 \end{cases} $
ОДЗ: $ x \in (0; 7) $.

2. Преобразуем неравенство. Перенесем $ \log_2 3 $ в левую часть и представим 1 как логарифм:
$ \log_2 (x(7 - x)) \ge \log_2 2 + \log_2 3 $
$ \log_2 (7x - x^2) \ge \log_2 (2 \cdot 3) $
$ \log_2 (7x - x^2) \ge \log_2 6 $

3. Так как основание логарифма $ 2 > 1 $, при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:
$ 7x - x^2 \ge 6 $
$ -x^2 + 7x - 6 \ge 0 $
$ x^2 - 7x + 6 \le 0 $

4. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $ x^2 - 7x + 6 = 0 $. По теореме Виета, корни $ x_1 = 1, x_2 = 6 $.
Парабола $ y = x^2 - 7x + 6 $ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется между корнями (включая их).
Решение: $ x \in [1; 6] $.

5. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$ [1; 6] \cap (0; 7) = [1; 6] $

Ответ: $ x \in [1; 6] $

в) $ \lg(7 - x) + \lg x > 1 $

1. Найдем ОДЗ (десятичный логарифм $ \lg $ имеет основание 10):
$ \begin{cases} 7 - x > 0 \\ x > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x < 7 \\ x > 0 \end{cases} $
ОДЗ: $ x \in (0; 7) $.

2. Преобразуем неравенство:
$ \lg (x(7 - x)) > 1 $
$ \lg (7x - x^2) > \lg 10 $

3. Так как основание логарифма $ 10 > 1 $, знак неравенства сохраняется:
$ 7x - x^2 > 10 $
$ -x^2 + 7x - 10 > 0 $
$ x^2 - 7x + 10 < 0 $

4. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $ x^2 - 7x + 10 = 0 $. По теореме Виета, корни $ x_1 = 2, x_2 = 5 $.
Парабола $ y = x^2 - 7x + 10 $ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется между корнями.
Решение: $ x \in (2; 5) $.

5. Пересечение решения с ОДЗ: $ (2; 5) \cap (0; 7) = (2; 5) $.

Ответ: $ x \in (2; 5) $

г) $ \log_{\frac{1}{2}} x + \log_{\frac{1}{2}} (10 - x) \ge -1 + \log_{\frac{1}{2}} 4,5 $

1. Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x > 0 \\ 10 - x > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x > 0 \\ x < 10 \end{cases} $
ОДЗ: $ x \in (0; 10) $.

2. Преобразуем неравенство. Представим -1 как логарифм и объединим логарифмы в правой части:
$ \log_{\frac{1}{2}} (x(10 - x)) \ge \log_{\frac{1}{2}} ((\frac{1}{2})^{-1}) + \log_{\frac{1}{2}} 4,5 $
$ \log_{\frac{1}{2}} (10x - x^2) \ge \log_{\frac{1}{2}} 2 + \log_{\frac{1}{2}} 4,5 $
$ \log_{\frac{1}{2}} (10x - x^2) \ge \log_{\frac{1}{2}} (2 \cdot 4,5) $
$ \log_{\frac{1}{2}} (10x - x^2) \ge \log_{\frac{1}{2}} 9 $

3. Так как основание логарифма $ \frac{1}{2} < 1 $, знак неравенства меняется на противоположный:
$ 10x - x^2 \le 9 $
$ -x^2 + 10x - 9 \le 0 $
$ x^2 - 10x + 9 \ge 0 $

4. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $ x^2 - 10x + 9 = 0 $. По теореме Виета, корни $ x_1 = 1, x_2 = 9 $.
Парабола $ y = x^2 - 10x + 9 $ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется при $ x \le 1 $ или $ x \ge 9 $.
Решение: $ x \in (-\infty; 1] \cup [9; \infty) $.

5. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$ ((-\infty; 1] \cup [9; \infty)) \cap (0; 10) = (0; 1] \cup [9; 10) $

Ответ: $ x \in (0; 1] \cup [9; 10) $