Номер 48.20, страница 194, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§48. Первообразная. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 48.20, страница 194.

48.20 Найдите ту первообразную для заданной функции $y = f(x)$, график которой касается заданной прямой $y = kx + m$:

a) $f(x) = 2x$, $y = x + 2$;

б) $f(x) = 3x^3$, $y = 3x + 4,75$.

а)

Требуется найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = 2x$, график которой касается прямой $y = x + 2$.

1. Найдём общий вид первообразной для функции $f(x)$. Первообразная находится путем интегрирования: $F(x) = \int f(x)dx = \int 2x dx = x^2 + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

2. Условие касания графика функции $y=F(x)$ и прямой $y=kx+m$ в точке с абсциссой $x_0$ заключается в одновременном выполнении двух условий:
- Равенство значений функций в точке касания: $F(x_0) = kx_0 + m$.
- Равенство производных в точке касания (равенство угловых коэффициентов касательной и прямой): $F'(x_0) = k$.

3. Для данной прямой $y = x + 2$ угловой коэффициент $k=1$. Производная первообразной по определению равна исходной функции: $F'(x) = f(x) = 2x$. Используя второе условие, найдем абсциссу точки касания $x_0$: $F'(x_0) = 1 \implies 2x_0 = 1 \implies x_0 = \frac{1}{2}$.

4. Теперь используем первое условие в точке $x_0 = \frac{1}{2}$, чтобы найти константу $C$: $F(\frac{1}{2}) = 1 \cdot \frac{1}{2} + 2$
Подставляем выражение для $F(x)$: $(\frac{1}{2})^2 + C = \frac{1}{2} + 2$
$\frac{1}{4} + C = \frac{5}{2}$
$C = \frac{5}{2} - \frac{1}{4} = \frac{10}{4} - \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$.

5. Подставив найденное значение $C$ в общее выражение для первообразной, получаем искомую функцию: $F(x) = x^2 + \frac{9}{4}$.

Ответ: $F(x) = x^2 + \frac{9}{4}$.

б)

Требуется найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = 3x^3$, график которой касается прямой $y = 3x + 4,75$.

1. Найдём общий вид первообразной для функции $f(x) = 3x^3$: $F(x) = \int 3x^3 dx = 3 \cdot \frac{x^4}{4} + C = \frac{3}{4}x^4 + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

2. Применим условия касания в точке $x_0$: $F(x_0) = kx_0 + m$ и $F'(x_0) = k$. Для прямой $y = 3x + 4,75$ угловой коэффициент $k=3$. Производная первообразной: $F'(x) = f(x) = 3x^3$.

3. Из условия равенства производных найдем абсциссу точки касания $x_0$: $F'(x_0) = 3 \implies 3x_0^3 = 3$
$x_0^3 = 1 \implies x_0 = 1$.

4. Теперь из условия равенства значений функций в точке $x_0=1$ найдем константу $C$: $F(1) = 3 \cdot 1 + 4,75$
Подставляем выражение для $F(x)$: $\frac{3}{4}(1)^4 + C = 3 + 4,75$
$\frac{3}{4} + C = 7,75$
Так как $\frac{3}{4} = 0,75$, получаем: $0,75 + C = 7,75$
$C = 7,75 - 0,75 = 7$.

5. Таким образом, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = \frac{3}{4}x^4 + 7$.

Ответ: $F(x) = \frac{3}{4}x^4 + 7$.