Номер 49.29, страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§49. Определённый интеграл. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 49.29, страница 199.

49.29 a) $\int_{0}^{4} \sqrt{4x - x^2} dx;$

б) $\int_{-1}^{0} \sqrt{-x^2 - 2x} dx.$

а)

Данный интеграл $\int_{0}^{4} \sqrt{4x - x^2} dx$ можно вычислить, используя его геометрический смысл. Определенный интеграл от неотрицательной функции равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком подынтегральной функции, осью абсцисс и вертикальными прямыми, соответствующими пределам интегрирования.

Рассмотрим подынтегральную функцию $y = \sqrt{4x - x^2}$. Область определения этой функции: $4x - x^2 \ge 0$, или $x(4-x) \ge 0$, что выполняется для $x \in [0, 4]$. Это совпадает с пределами интегрирования.

Преобразуем уравнение $y = \sqrt{4x - x^2}$, где $y \ge 0$:

$y^2 = 4x - x^2$

$x^2 - 4x + y^2 = 0$

Выделим полный квадрат для переменной $x$:

$(x^2 - 4x + 4) - 4 + y^2 = 0$

$(x - 2)^2 + y^2 = 4$

Это уравнение окружности с центром в точке $(2, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$.

Так как $y = \sqrt{4x - x^2} \ge 0$, мы имеем дело с верхней половиной этой окружности. Пределы интегрирования от $x=0$ до $x=4$ соответствуют полному диаметру окружности вдоль оси Ox. Таким образом, интеграл равен площади полукруга радиуса 2.

Площадь круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi R^2$. Площадь полукруга равна половине площади круга:

$S_{полукруга} = \frac{1}{2} \pi R^2 = \frac{1}{2} \pi (2)^2 = \frac{1}{2} \cdot 4\pi = 2\pi$.

Следовательно, значение интеграла равно площади этого полукруга.

Ответ: $2\pi$

б)

Рассмотрим интеграл $\int_{-1}^{0} \sqrt{-x^2 - 2x} dx$. Аналогично пункту а), воспользуемся геометрическим смыслом интеграла.

Рассмотрим подынтегральную функцию $y = \sqrt{-x^2 - 2x}$. Область определения: $-x^2 - 2x \ge 0$, или $x^2 + 2x \le 0$, или $x(x+2) \le 0$. Это неравенство выполняется для $x \in [-2, 0]$. Пределы интегрирования $[-1, 0]$ входят в область определения.

Преобразуем уравнение $y = \sqrt{-x^2 - 2x}$, где $y \ge 0$:

$y^2 = -x^2 - 2x$

$x^2 + 2x + y^2 = 0$

Выделим полный квадрат для переменной $x$:

$(x^2 + 2x + 1) - 1 + y^2 = 0$

$(x + 1)^2 + y^2 = 1$

Это уравнение окружности с центром в точке $(-1, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{1} = 1$.

Условие $y \ge 0$ означает, что мы рассматриваем верхнюю половину окружности. Пределы интегрирования от $x=-1$ до $x=0$. Это соответствует отрезку от центра окружности до ее правой точки пересечения с осью Ox. Таким образом, интеграл равен площади четверти круга радиуса 1.

Площадь круга с радиусом $R=1$ равна $S_{круга} = \pi R^2 = \pi (1)^2 = \pi$.

Площадь искомой фигуры составляет четверть от площади всего круга:

$S_{четверти круга} = \frac{1}{4} \pi R^2 = \frac{1}{4} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{4}$.

Следовательно, значение интеграла равно площади этой четверти круга.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$