Номер 44.10, страница 181, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§44. Логарифмические уравнения. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 44.10, страница 181.

44.10 a) $log_3(x - 2) + log_3(x + 2) = log_3(2x - 1);$

б) $log_{11}(x + 4) + log_{11}(x - 7) = log_{11}(7 - x);$

в) $log_{0,6}(x + 3) + log_{0,6}(x - 3) = log_{0,6}(2x - 1);$

г) $log_{0,4}(x + 2) + log_{0,4}(x + 3) = log_{0,4}(1 - x).$

а) $log_3(x - 2) + log_3(x + 2) = log_3(2x - 1)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы всех логарифмов должны быть строго больше нуля:

$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x + 2 > 0 \\ 2x - 1 > 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x > 2 \\ x > -2 \\ x > 0.5 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > 2$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (2; +\infty)$.

2. Используем свойство суммы логарифмов: $log_a(b) + log_a(c) = log_a(b \cdot c)$.

$log_3((x - 2)(x + 2)) = log_3(2x - 1)$

Применяем формулу разности квадратов: $(x - 2)(x + 2) = x^2 - 4$.

$log_3(x^2 - 4) = log_3(2x - 1)$

3. Так как основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:

$x^2 - 4 = 2x - 1$

Перенесем все члены в левую часть и решим полученное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 3 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -3. Корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

4. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 2$).

Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 > 2$.

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 > 2$, следовательно, это посторонний корень.

Единственным решением уравнения является $x = 3$.

Ответ: $3$.

б) $log_{11}(x + 4) + log_{11}(x - 7) = log_{11}(7 - x)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x + 4 > 0 \\ x - 7 > 0 \\ 7 - x > 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x > -4 \\ x > 7 \\ x < 7 \end{cases}$

Система неравенств $x > 7$ и $x < 7$ не имеет совместных решений. Таким образом, область допустимых значений пуста.

Поскольку ОДЗ является пустым множеством, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

в) $log_{0.6}(x + 3) + log_{0.6}(x - 3) = log_{0.6}(2x - 1)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x + 3 > 0 \\ x - 3 > 0 \\ 2x - 1 > 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x > -3 \\ x > 3 \\ x > 0.5 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > 3$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (3; +\infty)$.

2. Используем свойство суммы логарифмов $log_a(b) + log_a(c) = log_a(b \cdot c)$:

$log_{0.6}((x + 3)(x - 3)) = log_{0.6}(2x - 1)$

Применяем формулу разности квадратов:

$log_{0.6}(x^2 - 9) = log_{0.6}(2x - 1)$

3. Приравниваем аргументы логарифмов:

$x^2 - 9 = 2x - 1$

Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:

$x^2 - 2x - 8 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -8. Корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

4. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 3$).

Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию $4 > 3$.

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $-2 > 3$, следовательно, это посторонний корень.

Единственным решением является $x = 4$.

Ответ: $4$.

г) $log_{0.4}(x + 2) + log_{0.4}(x + 3) = log_{0.4}(1 - x)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x + 2 > 0 \\ x + 3 > 0 \\ 1 - x > 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x > -2 \\ x > -3 \\ x < 1 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $-2 < x < 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-2; 1)$.

2. Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство суммы логарифмов:

$log_{0.4}((x + 2)(x + 3)) = log_{0.4}(1 - x)$

Раскроем скобки в аргументе логарифма:

$log_{0.4}(x^2 + 5x + 6) = log_{0.4}(1 - x)$

3. Приравниваем аргументы логарифмов:

$x^2 + 5x + 6 = 1 - x$

Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:

$x^2 + 6x + 5 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна -6, а произведение равно 5. Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = -5$.

4. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \in (-2; 1)$).

Корень $x_1 = -1$ удовлетворяет условию $-2 < -1 < 1$.

Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию, так как $-5 < -2$. Это посторонний корень.

Единственным решением является $x = -1$.

Ответ: $-1$.