Номер 44.9, страница 181, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§44. Логарифмические уравнения. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 44.9, страница 181.

44.9 a) $2 \log_{8} x = \log_{8} 2,5 + \log_{8} 10;$

б) $3 \log_{2} \frac{1}{2} - \log_{2} \frac{1}{32} = \log_{2} x;$

в) $3 \log_{\frac{1}{7}} x = \log_{\frac{1}{7}} 9 + \log_{\frac{1}{7}} 3;$

г) $4 \log_{0,1} x = \log_{0,1} 2 + \log_{0,1} 8.$

а) Исходное уравнение: $2\log_8 x = \log_8 2,5 + \log_8 10$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмических уравнений определяется условием, что аргумент логарифма должен быть строго положительным. В данном случае $x > 0$.
Воспользуемся свойствами логарифмов:
1. Свойство степени: $n \cdot \log_a b = \log_a b^n$.
2. Свойство суммы логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$.
Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство степени:
$2\log_8 x = \log_8 x^2$.
Преобразуем правую часть уравнения, используя свойство суммы логарифмов:
$\log_8 2,5 + \log_8 10 = \log_8 (2,5 \cdot 10) = \log_8 25$.
Теперь уравнение имеет вид:
$\log_8 x^2 = \log_8 25$.
Поскольку основания логарифмов в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их аргументы:
$x^2 = 25$.
Решениями этого квадратного уравнения являются $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.
Проверяем решения на соответствие ОДЗ ($x > 0$). Корень $x = -5$ не удовлетворяет условию, поэтому он является посторонним. Корень $x=5$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $5$.

б) Исходное уравнение: $3\log_2 \frac{1}{2} - \log_2 \frac{1}{32} = \log_2 x$.
ОДЗ: $x > 0$.
Воспользуемся свойствами логарифмов:
1. Свойство степени: $n \cdot \log_a b = \log_a b^n$.
2. Свойство разности логарифмов: $\log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c})$.
Преобразуем левую часть уравнения. Сначала применим свойство степени:
$3\log_2 \frac{1}{2} = \log_2 ((\frac{1}{2})^3) = \log_2 \frac{1}{8}$.
Теперь левая часть уравнения выглядит так: $\log_2 \frac{1}{8} - \log_2 \frac{1}{32}$.
Применим свойство разности логарифмов:
$\log_2 \frac{1}{8} - \log_2 \frac{1}{32} = \log_2 (\frac{1/8}{1/32}) = \log_2 (\frac{1}{8} \cdot 32) = \log_2 4$.
Уравнение принимает вид:
$\log_2 4 = \log_2 x$.
Приравниваем аргументы:
$x = 4$.
Полученное значение $x=4$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $4$.

в) Исходное уравнение: $3\log_{\frac{1}{7}} x = \log_{\frac{1}{7}} 9 + \log_{\frac{1}{7}} 3$.
ОДЗ: $x > 0$.
Применяем те же свойства логарифмов, что и в пункте а).
Преобразуем левую часть:
$3\log_{\frac{1}{7}} x = \log_{\frac{1}{7}} x^3$.
Преобразуем правую часть:
$\log_{\frac{1}{7}} 9 + \log_{\frac{1}{7}} 3 = \log_{\frac{1}{7}} (9 \cdot 3) = \log_{\frac{1}{7}} 27$.
Получаем уравнение:
$\log_{\frac{1}{7}} x^3 = \log_{\frac{1}{7}} 27$.
Приравниваем аргументы, так как основания логарифмов равны:
$x^3 = 27$.
Извлекаем кубический корень из обеих частей:
$x = \sqrt[3]{27} = 3$.
Значение $x=3$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $3$.

г) Исходное уравнение: $4\log_{0,1} x = \log_{0,1} 2 + \log_{0,1} 8$.
ОДЗ: $x > 0$.
Используем свойства логарифмов.
Преобразуем левую часть уравнения:
$4\log_{0,1} x = \log_{0,1} x^4$.
Преобразуем правую часть уравнения:
$\log_{0,1} 2 + \log_{0,1} 8 = \log_{0,1} (2 \cdot 8) = \log_{0,1} 16$.
Уравнение принимает вид:
$\log_{0,1} x^4 = \log_{0,1} 16$.
Приравниваем аргументы:
$x^4 = 16$.
Решениями этого уравнения являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Проверяем решения на соответствие ОДЗ ($x > 0$). Корень $x = -2$ не удовлетворяет условию. Корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $2$.