Номер 44.2, страница 180, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§44. Логарифмические уравнения. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 44.2, страница 180.

44.2 a) $\log_3(x^2 + 6) = \log_3 5x;$

Б) $\log_{\frac{1}{2}}(7x^2 - 200) = \log_{\frac{1}{2}} 50x;$

В) $\lg(x^2 - 6) = \lg(8 + 5x);$

Г) $\lg(x^2 - 8) = \lg(2 - 9x).$

а) $log_3(x^2 + 6) = log_3(5x)$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы. Уравнение равносильно системе, где мы должны учесть область допустимых значений (ОДЗ), а именно, что аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.

$$ \begin{cases} x^2 + 6 = 5x, \\ 5x > 0. \end{cases} $$ Заметим, что условие $x^2 + 6 > 0$ выполняется для любого действительного числа $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2 + 6$ всегда положительно. Поэтому его можно не включать в систему.

Решим первое уравнение системы, которое является квадратным: $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Отсюда находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни второму условию системы $5x > 0$, что эквивалентно $x > 0$.

При $x_1 = 2$: $2 > 0$. Корень подходит.

При $x_2 = 3$: $3 > 0$. Корень также подходит.

Ответ: 2; 3.

б) $log_{\frac{1}{2}}(7x^2 - 200) = log_{\frac{1}{2}}(50x)$

Данное уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} 7x^2 - 200 = 50x, \\ 50x > 0. \end{cases} $$ (Из равенства $7x^2 - 200 = 50x$ и условия $50x > 0$ автоматически следует, что $7x^2 - 200 > 0$, поэтому это условие можно не проверять отдельно).

Решим квадратное уравнение: $7x^2 - 50x - 200 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-50)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-200) = 2500 + 5600 = 8100 = 90^2$. Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{50 - 90}{2 \cdot 7} = \frac{-40}{14} = -\frac{20}{7}$. $x_2 = \frac{50 + 90}{2 \cdot 7} = \frac{140}{14} = 10$.

Проверим найденные корни на соответствие условию $50x > 0$, то есть $x > 0$:

Корень $x_1 = -\frac{20}{7}$ не удовлетворяет условию $x > 0$, так как $-\frac{20}{7} < 0$. Это посторонний корень.

Корень $x_2 = 10$ удовлетворяет условию $x > 0$, так как $10 > 0$.

Ответ: 10.

в) $lg(x^2 - 6) = lg(8 + 5x)$

Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} x^2 - 6 = 8 + 5x, \\ x^2 - 6 > 0, \\ 8 + 5x > 0. \end{cases} $$ Сначала решим уравнение: $x^2 - 5x - 14 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение -14. Корни: $x_1 = 7$, $x_2 = -2$.

Теперь необходимо проверить найденные корни, подставив их в неравенства ОДЗ.

Проверка для $x_1 = 7$: $7^2 - 6 = 49 - 6 = 43 > 0$ (верно). $8 + 5 \cdot 7 = 8 + 35 = 43 > 0$ (верно). Следовательно, $x = 7$ является решением.

Проверка для $x_2 = -2$: $(-2)^2 - 6 = 4 - 6 = -2$. Так как $-2 < 0$, условие $x^2 - 6 > 0$ не выполняется. Следовательно, $x = -2$ является посторонним корнем.

Ответ: 7.

г) $lg(x^2 - 8) = lg(2 - 9x)$

Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} x^2 - 8 = 2 - 9x, \\ x^2 - 8 > 0, \\ 2 - 9x > 0. \end{cases} $$ Решим уравнение из системы: $x^2 + 9x - 10 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -9, а произведение -10. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -10$.

Проверим найденные корни на соответствие условиям ОДЗ.

Проверка для $x_1 = 1$: $1^2 - 8 = 1 - 8 = -7$. Так как $-7 < 0$, условие $x^2 - 8 > 0$ не выполняется. Следовательно, $x = 1$ является посторонним корнем.

Проверка для $x_2 = -10$: $(-10)^2 - 8 = 100 - 8 = 92 > 0$ (верно). $2 - 9(-10) = 2 + 90 = 92 > 0$ (верно). Следовательно, $x = -10$ является решением.

Ответ: -10.