Номер 43.37, страница 179, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§43. Свойства логарифмов. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 43.37, страница 179.

Постройте график функции:

43.37 a) $y = \log_2 8x;$

б) $y = \log_{\frac{1}{2}} 4x;$

в) $y = \log_3 \frac{x}{27};$

г) $\log_{\frac{1}{3}} \frac{x}{9}.$

а) $y = \log_2 8x$

1. Найдем область определения функции (ОДЗ).
Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $8x > 0$, что означает $x > 0$.
ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции.
Используем свойство логарифма произведения $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$:
$y = \log_2 8x = \log_2 8 + \log_2 x$
Поскольку $2^3 = 8$, то $\log_2 8 = 3$.
Таким образом, функция принимает вид: $y = \log_2 x + 3$.

3. Построение графика.
График функции $y = \log_2 x + 3$ получается из графика основной логарифмической функции $y_0 = \log_2 x$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Oy$ на 3 единицы вверх.

Сначала построим график базовой функции $y_0 = \log_2 x$. Это возрастающая функция, проходящая через точку $(1, 0)$. Ось $Oy$ (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой. Найдем несколько ключевых точек для $y_0 = \log_2 x$:
• Если $x = 1$, $y_0 = \log_2 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.
• Если $x = 2$, $y_0 = \log_2 2 = 1$. Точка $(2, 1)$.
• Если $x = 4$, $y_0 = \log_2 4 = 2$. Точка $(4, 2)$.
• Если $x = 0.5$, $y_0 = \log_2 0.5 = -1$. Точка $(0.5, -1)$.

Теперь сдвинем эти точки на 3 единицы вверх, чтобы получить точки для графика $y = \log_2 x + 3$:
• $(1, 0) \rightarrow (1, 3)$
• $(2, 1) \rightarrow (2, 4)$
• $(4, 2) \rightarrow (4, 5)$
• $(0.5, -1) \rightarrow (0.5, 2)$
Вертикальная асимптота остается прежней: $x=0$. Точка пересечения с осью $Ox$ находится из условия $y=0$: $\log_2 x + 3 = 0 \Rightarrow \log_2 x = -3 \Rightarrow x = 2^{-3} = \frac{1}{8}$. Точка $(\frac{1}{8}, 0)$.

Ответ: График функции $y = \log_2 8x$ является графиком функции $y = \log_2 x$, сдвинутым на 3 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

б) $y = \log_{\frac{1}{2}} 4x$

1. ОДЗ: $4x > 0 \Rightarrow x > 0$.

2. Упростим выражение:
$y = \log_{\frac{1}{2}} 4x = \log_{\frac{1}{2}} 4 + \log_{\frac{1}{2}} x$
Найдем $\log_{\frac{1}{2}} 4$. Так как $(\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$, то $\log_{\frac{1}{2}} 4 = -2$.
Функция принимает вид: $y = \log_{\frac{1}{2}} x - 2$.

3. Построение графика:
График функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x - 2$ получается из графика функции $y_0 = \log_{\frac{1}{2}} x$ сдвигом вдоль оси $Oy$ на 2 единицы вниз. График $y_0 = \log_{\frac{1}{2}} x$ — это убывающая функция (основание $\frac{1}{2} < 1$), проходящая через точку $(1, 0)$, с вертикальной асимптотой $x=0$.
Ключевые точки для $y_0 = \log_{\frac{1}{2}} x$: $(1, 0)$, $(2, -1)$, $(0.5, 1)$.
Сдвигаем эти точки на 2 единицы вниз для графика $y = \log_{\frac{1}{2}} x - 2$:
• $(1, 0) \rightarrow (1, -2)$
• $(2, -1) \rightarrow (2, -3)$
• $(0.5, 1) \rightarrow (0.5, -1)$
Асимптота: $x=0$. Точка пересечения с $Ox$: $\log_{\frac{1}{2}} x - 2 = 0 \Rightarrow \log_{\frac{1}{2}} x = 2 \Rightarrow x = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. Точка $(\frac{1}{4}, 0)$.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{2}} 4x$ является графиком функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$, сдвинутым на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

в) $y = \log_3 \frac{x}{27}$

1. ОДЗ: $\frac{x}{27} > 0 \Rightarrow x > 0$.

2. Упростим выражение:
Используем свойство логарифма частного $\log_a(\frac{b}{c}) = \log_a b - \log_a c$:
$y = \log_3 x - \log_3 27$
Так как $3^3 = 27$, то $\log_3 27 = 3$.
Функция принимает вид: $y = \log_3 x - 3$.

3. Построение графика:
График функции $y = \log_3 x - 3$ получается из графика $y_0 = \log_3 x$ сдвигом на 3 единицы вниз вдоль оси $Oy$. График $y_0 = \log_3 x$ — возрастающая функция (основание $3>1$), проходит через $(1,0)$, асимптота $x=0$.
Ключевые точки для $y_0 = \log_3 x$: $(1, 0)$, $(3, 1)$, $(9, 2)$.
Сдвигаем точки на 3 единицы вниз для графика $y = \log_3 x - 3$:
• $(1, 0) \rightarrow (1, -3)$
• $(3, 1) \rightarrow (3, -2)$
• $(9, 2) \rightarrow (9, -1)$
Асимптота: $x=0$. Точка пересечения с $Ox$: $\log_3 x - 3 = 0 \Rightarrow \log_3 x = 3 \Rightarrow x = 3^3 = 27$. Точка $(27, 0)$.

Ответ: График функции $y = \log_3 \frac{x}{27}$ является графиком функции $y = \log_3 x$, сдвинутым на 3 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

г) $y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{x}{9}$

1. ОДЗ: $\frac{x}{9} > 0 \Rightarrow x > 0$.

2. Упростим выражение:
$y = \log_{\frac{1}{3}} x - \log_{\frac{1}{3}} 9$
Найдем $\log_{\frac{1}{3}} 9$. Так как $(\frac{1}{3})^{-2} = 3^2 = 9$, то $\log_{\frac{1}{3}} 9 = -2$.
Функция принимает вид: $y = \log_{\frac{1}{3}} x - (-2) = \log_{\frac{1}{3}} x + 2$.

3. Построение графика:
График функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x + 2$ получается из графика $y_0 = \log_{\frac{1}{3}} x$ сдвигом на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$. График $y_0 = \log_{\frac{1}{3}} x$ — убывающая функция, проходит через $(1,0)$, асимптота $x=0$.
Ключевые точки для $y_0 = \log_{\frac{1}{3}} x$: $(1, 0)$, $(3, -1)$, $(\frac{1}{3}, 1)$.
Сдвигаем точки на 2 единицы вверх для графика $y = \log_{\frac{1}{3}} x + 2$:
• $(1, 0) \rightarrow (1, 2)$
• $(3, -1) \rightarrow (3, 1)$
• $(\frac{1}{3}, 1) \rightarrow (\frac{1}{3}, 3)$
Асимптота: $x=0$. Точка пересечения с $Ox$: $\log_{\frac{1}{3}} x + 2 = 0 \Rightarrow \log_{\frac{1}{3}} x = -2 \Rightarrow x = (\frac{1}{3})^{-2} = 9$. Точка $(9, 0)$.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{x}{9}$ является графиком функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$, сдвинутым на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$.