Номер 43.33, страница 179, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§43. Свойства логарифмов. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 43.33, страница 179.

43.33 a) $\log_4 x = \log_4 2 + \log_4 7$;

б) $\log_{\frac{1}{3}} x - \log_{\frac{1}{3}} 7 = \log_{\frac{1}{3}} 4$;

В) $\log_9 x = \log_9 5 + \log_9 6$;

Г) $\log_{\frac{1}{4}} x - \log_{\frac{1}{4}} 9 = \log_{\frac{1}{4}} 5$.

а) $\log_4 x = \log_4 2 + \log_4 7$

Для решения данного логарифмического уравнения воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$.

Применяя это свойство к правой части уравнения, получаем:

$\log_4 2 + \log_4 7 = \log_4 (2 \cdot 7) = \log_4 14$

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$\log_4 x = \log_4 14$

Так как основания логарифмов в обеих частях уравнения равны, то и их аргументы должны быть равны. Отсюда следует:

$x = 14$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием $x > 0$. Найденное значение $x = 14$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $x = 14$

б) $\log_{\frac{1}{3}} x - \log_{\frac{1}{3}} 7 = \log_{\frac{1}{3}} 4$

Для решения этого уравнения используем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c})$.

Применим это свойство к левой части уравнения:

$\log_{\frac{1}{3}} x - \log_{\frac{1}{3}} 7 = \log_{\frac{1}{3}} (\frac{x}{7})$

Теперь уравнение принимает вид:

$\log_{\frac{1}{3}} (\frac{x}{7}) = \log_{\frac{1}{3}} 4$

Поскольку основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$\frac{x}{7} = 4$

Решаем полученное уравнение относительно $x$:

$x = 4 \cdot 7 = 28$

ОДЗ для исходного уравнения: $x > 0$. Решение $x=28$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 28$

в) $\log_9 x = \log_9 5 + \log_9 6$

Воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$.

Преобразуем правую часть уравнения:

$\log_9 5 + \log_9 6 = \log_9 (5 \cdot 6) = \log_9 30$

Получаем эквивалентное уравнение:

$\log_9 x = \log_9 30$

Так как основания логарифмов равны, можем приравнять их аргументы:

$x = 30$

ОДЗ для этого уравнения: $x > 0$. Решение $x=30$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $x = 30$

г) $\log_{\frac{1}{4}} x - \log_{\frac{1}{4}} 9 = \log_{\frac{1}{4}} 5$

Применяем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c})$.

Преобразуем левую часть уравнения:

$\log_{\frac{1}{4}} x - \log_{\frac{1}{4}} 9 = \log_{\frac{1}{4}} (\frac{x}{9})$

Уравнение принимает следующий вид:

$\log_{\frac{1}{4}} (\frac{x}{9}) = \log_{\frac{1}{4}} 5$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$\frac{x}{9} = 5$

Находим $x$:

$x = 5 \cdot 9 = 45$

ОДЗ для данного уравнения: $x > 0$. Решение $x=45$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 45$