Номер 43.29, страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§43. Свойства логарифмов. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 43.29, страница 178.

43.29 а) $(\frac{1}{4})^{1+0.5 \log_{\frac{1}{2}} 14}$;

Б) $25^{1-0.5 \log_5 11}$.

В) $(\frac{1}{9})^{1+\frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 18}$;

Г) $49^{1-0.5 \log_7 14}$.

а)

Для решения примера $(\frac{1}{4})^{1 + 0,5 \log_{\frac{1}{2}} 14}$ воспользуемся свойствами степеней и логарифмов.

Сначала используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$(\frac{1}{4})^{1 + 0,5 \log_{\frac{1}{2}} 14} = (\frac{1}{4})^1 \cdot (\frac{1}{4})^{0,5 \log_{\frac{1}{2}} 14}$

Теперь преобразуем второй множитель. Представим основание $\frac{1}{4}$ как $(\frac{1}{2})^2$:

$(\frac{1}{4})^{0,5 \log_{\frac{1}{2}} 14} = ((\frac{1}{2})^2)^{0,5 \log_{\frac{1}{2}} 14}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(\frac{1}{2})^{2 \cdot 0,5 \log_{\frac{1}{2}} 14} = (\frac{1}{2})^{1 \cdot \log_{\frac{1}{2}} 14} = (\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 14}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$(\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 14} = 14$

Подставим найденное значение обратно в исходное выражение:

$\frac{1}{4} \cdot 14 = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3,5$

Ответ: $3,5$.

б)

Для решения примера $25^{1 - 0,5 \log_5 11}$ воспользуемся свойствами степеней и логарифмов.

Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$25^{1 - 0,5 \log_5 11} = \frac{25^1}{25^{0,5 \log_5 11}}$

Преобразуем знаменатель. Представим основание $25$ как $5^2$:

$25^{0,5 \log_5 11} = (5^2)^{0,5 \log_5 11}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$5^{2 \cdot 0,5 \log_5 11} = 5^{1 \cdot \log_5 11} = 5^{\log_5 11}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$5^{\log_5 11} = 11$

Подставим найденное значение в знаменатель дроби:

$\frac{25}{11}$

Ответ: $\frac{25}{11}$.

в)

Для решения примера $(\frac{1}{9})^{1 + \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 18}$ воспользуемся свойствами степеней и логарифмов.

Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$(\frac{1}{9})^{1 + \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 18} = (\frac{1}{9})^1 \cdot (\frac{1}{9})^{\frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 18}$

Преобразуем второй множитель. Представим основание $\frac{1}{9}$ как $(\frac{1}{3})^2$:

$(\frac{1}{9})^{\frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 18} = ((\frac{1}{3})^2)^{\frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 18}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(\frac{1}{3})^{2 \cdot \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 18} = (\frac{1}{3})^{1 \cdot \log_{\frac{1}{3}} 18} = (\frac{1}{3})^{\log_{\frac{1}{3}} 18}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$(\frac{1}{3})^{\log_{\frac{1}{3}} 18} = 18$

Подставим найденное значение обратно в исходное выражение:

$\frac{1}{9} \cdot 18 = \frac{18}{9} = 2$

Ответ: $2$.

г)

Для решения примера $49^{1 - 0,5 \log_7 14}$ воспользуемся свойствами степеней и логарифмов.

Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$49^{1 - 0,5 \log_7 14} = \frac{49^1}{49^{0,5 \log_7 14}}$

Преобразуем знаменатель. Представим основание $49$ как $7^2$:

$49^{0,5 \log_7 14} = (7^2)^{0,5 \log_7 14}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$7^{2 \cdot 0,5 \log_7 14} = 7^{1 \cdot \log_7 14} = 7^{\log_7 14}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$7^{\log_7 14} = 14$

Подставим найденное значение в знаменатель дроби:

$\frac{49}{14} = \frac{7 \cdot 7}{2 \cdot 7} = \frac{7}{2} = 3,5$

Ответ: $3,5$.