Номер 43.23, страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§43. Свойства логарифмов. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 43.23, страница 177.

43.23 a) $log_{1/2} x = log_{1/2} 19 - log_{1/2} 38 + log_{1/2} 3;$

б) $log_{0.2} x = log_{0.2} 93 + log_{0.2} 4 - log_{0.2} 31;$

в) $log_{\sqrt{7}} x = 2 log_{\sqrt{7}} 4 - log_{\sqrt{7}} 2 + log_{\sqrt{7}} 5;$

г) $log_{1/3} x = log_{1/3} \frac{7}{9} + log_{1/3} 21 - 2 log_{1/3} 7.$

а) $ \log_{\frac{1}{2}} x = \log_{\frac{1}{2}} 19 - \log_{\frac{1}{2}} 38 + \log_{\frac{1}{2}} 3 $

Для решения этого уравнения воспользуемся свойствами логарифмов: сумма логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) $ и разность логарифмов $ \log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c}) $. Все логарифмы имеют одинаковое основание $ \frac{1}{2} $. Область допустимых значений для $ x $ — это $ x > 0 $.

Преобразуем правую часть уравнения, объединив все логарифмы в один:

$ \log_{\frac{1}{2}} 19 - \log_{\frac{1}{2}} 38 + \log_{\frac{1}{2}} 3 = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{19}{38}) + \log_{\frac{1}{2}} 3 = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{19 \cdot 3}{38}) $

Выполним вычисления под знаком логарифма:

$ \frac{19 \cdot 3}{38} = \frac{57}{38} = \frac{3 \cdot 19}{2 \cdot 19} = \frac{3}{2} $

Таким образом, уравнение принимает вид:

$ \log_{\frac{1}{2}} x = \log_{\frac{1}{2}} \frac{3}{2} $

Так как основания логарифмов в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их аргументы:

$ x = \frac{3}{2} $ или $ x = 1,5 $.

Это значение удовлетворяет условию $ x > 0 $.

Ответ: $ 1,5 $.

б) $ \log_{0,2} x = \log_{0,2} 93 + \log_{0,2} 4 - \log_{0,2} 31 $

Используем те же свойства логарифмов, что и в предыдущем задании, так как основание $ 0,2 $ одинаково для всех членов. Условие на $ x $: $ x > 0 $.

Объединим логарифмы в правой части уравнения:

$ \log_{0,2} 93 + \log_{0,2} 4 - \log_{0,2} 31 = \log_{0,2} (93 \cdot 4) - \log_{0,2} 31 = \log_{0,2} (\frac{93 \cdot 4}{31}) $

Вычислим выражение в скобках:

$ \frac{93 \cdot 4}{31} = \frac{3 \cdot 31 \cdot 4}{31} = 3 \cdot 4 = 12 $

Уравнение сводится к виду:

$ \log_{0,2} x = \log_{0,2} 12 $

Приравниваем аргументы логарифмов:

$ x = 12 $

Значение $ x = 12 $ больше нуля.

Ответ: $ 12 $.

в) $ \log_{\sqrt{7}} x = 2 \log_{\sqrt{7}} 4 - \log_{\sqrt{7}} 2 + \log_{\sqrt{7}} 5 $

Здесь, помимо свойств суммы и разности логарифмов, мы используем свойство степени: $ n \log_a b = \log_a (b^n) $. Условие на $ x $: $ x > 0 $.

Сначала преобразуем член $ 2 \log_{\sqrt{7}} 4 $:

$ 2 \log_{\sqrt{7}} 4 = \log_{\sqrt{7}} (4^2) = \log_{\sqrt{7}} 16 $

Теперь подставим это в правую часть уравнения и объединим все логарифмы:

$ \log_{\sqrt{7}} 16 - \log_{\sqrt{7}} 2 + \log_{\sqrt{7}} 5 = \log_{\sqrt{7}} (\frac{16}{2}) + \log_{\sqrt{7}} 5 = \log_{\sqrt{7}} (8 \cdot 5) = \log_{\sqrt{7}} 40 $

Получаем уравнение:

$ \log_{\sqrt{7}} x = \log_{\sqrt{7}} 40 $

Отсюда следует:

$ x = 40 $

Значение $ x = 40 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ 40 $.

г) $ \log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} \frac{7}{9} + \log_{\frac{1}{3}} 21 - 2 \log_{\frac{1}{3}} 7 $

Как и в предыдущем примере, используем свойства суммы, разности и степени логарифма. Условие на $ x $: $ x > 0 $.

Преобразуем последний член в правой части:

$ 2 \log_{\frac{1}{3}} 7 = \log_{\frac{1}{3}} (7^2) = \log_{\frac{1}{3}} 49 $

Теперь объединим все логарифмы в правой части:

$ \log_{\frac{1}{3}} \frac{7}{9} + \log_{\frac{1}{3}} 21 - \log_{\frac{1}{3}} 49 = \log_{\frac{1}{3}} (\frac{\frac{7}{9} \cdot 21}{49}) $

Вычислим значение подлогарифмического выражения:

$ \frac{\frac{7}{9} \cdot 21}{49} = \frac{7 \cdot 21}{9 \cdot 49} = \frac{7 \cdot (3 \cdot 7)}{(3 \cdot 3) \cdot (7 \cdot 7)} = \frac{147}{441} = \frac{1}{3} $

Уравнение принимает вид:

$ \log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} $

Следовательно:

$ x = \frac{1}{3} $

Это значение удовлетворяет условию $ x > 0 $.

Ответ: $ \frac{1}{3} $.