Номер 43.21, страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§43. Свойства логарифмов. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 43.21, страница 177.

43.21 a) $\log_4 \left(\sin \frac{\pi}{12}\right) + \frac{1}{3}\log_4 \left(\sin^3 \frac{13\pi}{6}\right) + \log_4 \left(\sin \frac{7\pi}{12}\right);$

б) $\frac{1}{2}\log_8 \left(\cos \frac{\pi}{8} - \sin \frac{\pi}{8}\right)^2 - \log_8 \left(\cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{8}\right)^{-1}.$

a) $ \log_{4}\left(\sin\frac{\pi}{12}\right) + \frac{1}{3}\log_{4}\left(\sin^3\frac{13\pi}{6}\right) + \log_{4}\left(\sin\frac{7\pi}{12}\right) $

Преобразуем выражение, используя свойства логарифмов и тригонометрические формулы.

1. Упростим второе слагаемое, используя свойство логарифма $ c \cdot \log_b a = \log_b a^c $:

$ \frac{1}{3}\log_{4}\left(\sin^3\frac{13\pi}{6}\right) = \log_{4}\left(\left(\sin^3\frac{13\pi}{6}\right)^{\frac{1}{3}}\right) = \log_{4}\left(\sin\frac{13\pi}{6}\right) $

2. Теперь выражение имеет вид:

$ \log_{4}\left(\sin\frac{\pi}{12}\right) + \log_{4}\left(\sin\frac{13\pi}{6}\right) + \log_{4}\left(\sin\frac{7\pi}{12}\right) $

Используем свойство суммы логарифмов $ \log_b x + \log_b y + \log_b z = \log_b(x \cdot y \cdot z) $:

$ \log_{4}\left(\sin\frac{\pi}{12} \cdot \sin\frac{13\pi}{6} \cdot \sin\frac{7\pi}{12}\right) $

3. Вычислим значения синусов:

Используя периодичность синуса, $ \sin\frac{13\pi}{6} = \sin\left(2\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $.

Используем формулу приведения $ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha $:

$ \sin\frac{7\pi}{12} = \sin\left(\frac{6\pi + \pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{12}\right) = \cos\frac{\pi}{12} $.

4. Подставим найденные значения в выражение под логарифмом:

$ \sin\frac{\pi}{12} \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos\frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \left(\sin\frac{\pi}{12} \cos\frac{\pi}{12}\right) $

5. Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $, откуда $ \sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha) $:

$ \frac{1}{2} \left(\sin\frac{\pi}{12} \cos\frac{\pi}{12}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{12}\right) = \frac{1}{4} \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} $

6. Исходное выражение сводится к вычислению логарифма:

$ \log_{4}\left(\frac{1}{8}\right) $

Представим основание и аргумент логарифма как степени числа 2: $ 4 = 2^2 $, $ \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3} $.

Используем формулу перехода к новому основанию $ \log_{b^k} a = \frac{1}{k} \log_b a $ и свойство $ \log_b a^p = p \log_b a $:

$ \log_{4}\left(\frac{1}{8}\right) = \log_{2^2}(2^{-3}) = \frac{-3}{2} \log_2 2 = -\frac{3}{2} = -1.5 $

Ответ: $ -1.5 $

б) $ \frac{1}{2}\log_{8}\left(\cos\frac{\pi}{8} - \sin\frac{\pi}{8}\right)^2 - \log_{8}\left(\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8}\right)^{-1} $

1. Упростим каждое слагаемое, используя свойство логарифма $ \log_b a^c = c \log_b a $.

Для первого слагаемого:

$ \frac{1}{2}\log_{8}\left(\cos\frac{\pi}{8} - \sin\frac{\pi}{8}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \log_{8}\left|\cos\frac{\pi}{8} - \sin\frac{\pi}{8}\right| $

Так как угол $ \frac{\pi}{8} $ находится в интервале $ (0, \frac{\pi}{4}) $, то $ \cos\frac{\pi}{8} > \sin\frac{\pi}{8} $, следовательно, выражение $ \cos\frac{\pi}{8} - \sin\frac{\pi}{8} $ положительно. Модуль можно опустить:

$ \log_{8}\left(\cos\frac{\pi}{8} - \sin\frac{\pi}{8}\right) $

Для второго слагаемого:

$ - \log_{8}\left(\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8}\right)^{-1} = -(-1) \log_{8}\left(\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8}\right) = \log_{8}\left(\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8}\right) $

2. Исходное выражение примет вид суммы двух логарифмов:

$ \log_{8}\left(\cos\frac{\pi}{8} - \sin\frac{\pi}{8}\right) + \log_{8}\left(\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8}\right) $

3. Применим свойство суммы логарифмов $ \log_b x + \log_b y = \log_b(xy) $:

$ \log_{8}\left(\left(\cos\frac{\pi}{8} - \sin\frac{\pi}{8}\right)\left(\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8}\right)\right) $

4. Упростим выражение в скобках, используя формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $:

$ \cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8} $

5. Применим формулу косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $:

$ \cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8} = \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

6. Исходное выражение сводится к вычислению логарифма:

$ \log_{8}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $

Представим основание и аргумент логарифма как степени числа 2: $ 8 = 2^3 $, $ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2^{1/2}}{2^1} = 2^{1/2 - 1} = 2^{-1/2} $.

$ \log_{8}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \log_{2^3}(2^{-1/2}) = \frac{-1/2}{3} \log_2 2 = -\frac{1}{6} $

Ответ: $ -\frac{1}{6} $