Номер 43.28, страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§43. Свойства логарифмов. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 43.28, страница 178.

43.28 a) $36^{\frac{1}{2} \log_6 18}$;

б) $64^{\frac{1}{4} \log_8 25}$;

В) $121^{\frac{1}{2} \log_{11} 35}$;

Г) $25^{\frac{1}{4} \log_5 9}$.

а) Для решения выражения $36^{\frac{1}{2}\log_{6}18}$ воспользуемся свойствами степеней и логарифмов.
1. Представим основание 36 как степень числа 6, так как основание логарифма в показателе степени также равно 6: $36 = 6^2$.
Подставим это в исходное выражение: $(6^2)^{\frac{1}{2}\log_{6}18}$.
2. Используем свойство степени «возведение степени в степень» $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Перемножим показатели:
$6^{2 \cdot \frac{1}{2}\log_{6}18} = 6^{1 \cdot \log_{6}18} = 6^{\log_{6}18}$.
3. Теперь применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_{a}b} = b$. В нашем случае $a=6$ и $b=18$.
$6^{\log_{6}18} = 18$.
Ответ: 18

б) Рассмотрим выражение $64^{\frac{1}{4}\log_{8}25}$.
1. Представим основание 64 как степень числа 8, так как основание логарифма в показателе равно 8: $64 = 8^2$.
Получим: $(8^2)^{\frac{1}{4}\log_{8}25}$.
2. По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ упростим показатель:
$8^{2 \cdot \frac{1}{4}\log_{8}25} = 8^{\frac{2}{4}\log_{8}25} = 8^{\frac{1}{2}\log_{8}25}$.
3. Используем свойство логарифма «коэффициент перед логарифмом» $c \cdot \log_{a}b = \log_{a}(b^c)$. Внесем коэффициент $\frac{1}{2}$ в показатель подлогарифмического выражения:
$\frac{1}{2}\log_{8}25 = \log_{8}(25^{\frac{1}{2}}) = \log_{8}\sqrt{25} = \log_{8}5$.
4. Подставим полученный показатель обратно в выражение: $8^{\log_{8}5}$.
5. Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_{a}b} = b$. В нашем случае $a=8$ и $b=5$.
$8^{\log_{8}5} = 5$.
Ответ: 5

в) Решим выражение $121^{\frac{1}{2}\log_{11}35}$.
1. Представим основание 121 как степень числа 11, так как основание логарифма равно 11: $121 = 11^2$.
Выражение примет вид: $(11^2)^{\frac{1}{2}\log_{11}35}$.
2. По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ перемножим показатели:
$11^{2 \cdot \frac{1}{2}\log_{11}35} = 11^{1 \cdot \log_{11}35} = 11^{\log_{11}35}$.
3. Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_{a}b} = b$. Здесь $a=11$ и $b=35$.
$11^{\log_{11}35} = 35$.
Ответ: 35

г) Рассмотрим выражение $25^{\frac{1}{4}\log_{5}9}$.
1. Представим основание 25 как степень числа 5, так как основание логарифма равно 5: $25 = 5^2$.
Получим: $(5^2)^{\frac{1}{4}\log_{5}9}$.
2. По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ упростим показатель:
$5^{2 \cdot \frac{1}{4}\log_{5}9} = 5^{\frac{2}{4}\log_{5}9} = 5^{\frac{1}{2}\log_{5}9}$.
3. Используем свойство логарифма $c \cdot \log_{a}b = \log_{a}(b^c)$. Внесем коэффициент $\frac{1}{2}$ в показатель подлогарифмического выражения:
$\frac{1}{2}\log_{5}9 = \log_{5}(9^{\frac{1}{2}}) = \log_{5}\sqrt{9} = \log_{5}3$.
4. Подставим полученный показатель обратно в выражение: $5^{\log_{5}3}$.
5. Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_{a}b} = b$. Здесь $a=5$ и $b=3$.
$5^{\log_{5}3} = 3$.
Ответ: 3