Номер 43.30, страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§43. Свойства логарифмов. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 43.30, страница 178.

43.30 а) $\sqrt[3]{81^{\log_9 6} - 7^{\log_7 9}}$;

б) $\sqrt[4]{36^{\log_6 5} - 5^{\log_5 9}}$.

а) $\sqrt[3]{81^{\log_9 6} - 7^{\log_7 9}}$

Для решения данного примера необходимо упростить выражение, находящееся под знаком кубического корня. Для этого воспользуемся свойствами логарифмов и степеней.

Рассмотрим первое слагаемое в подкоренном выражении: $81^{\log_9 6}$.

1. Представим основание 81 в виде степени числа 9: $81 = 9^2$.

2. Подставим это в выражение: $(9^2)^{\log_9 6}$.

3. Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $9^{2 \cdot \log_9 6}$.

4. Применим свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$: $9^{\log_9 (6^2)} = 9^{\log_9 36}$.

5. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ получаем: $9^{\log_9 36} = 36$.

Теперь рассмотрим второе слагаемое: $7^{\log_7 9}$.

Здесь также применяется основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, поэтому:

$7^{\log_7 9} = 9$.

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$\sqrt[3]{81^{\log_9 6} - 7^{\log_7 9}} = \sqrt[3]{36 - 9} = \sqrt[3]{27}$.

Вычисляем значение кубического корня:

$\sqrt[3]{27} = 3$.

Ответ: 3

б) $\sqrt[4]{36^{\log_6 5} - 5^{\log_5 9}}$

Упростим выражение под знаком корня четвертой степени, используя те же свойства, что и в предыдущем пункте.

Рассмотрим первый член подкоренного выражения: $36^{\log_6 5}$.

1. Представим основание 36 в виде степени числа 6: $36 = 6^2$.

2. Подставим в выражение: $(6^2)^{\log_6 5}$.

3. По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$ имеем: $6^{2 \cdot \log_6 5}$.

4. Используя свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$, получаем: $6^{\log_6 (5^2)} = 6^{\log_6 25}$.

5. Применив основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, находим: $6^{\log_6 25} = 25$.

Рассмотрим второй член: $5^{\log_5 9}$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ получаем:

$5^{\log_5 9} = 9$.

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$\sqrt[4]{36^{\log_6 5} - 5^{\log_5 9}} = \sqrt[4]{25 - 9} = \sqrt[4]{16}$.

Вычисляем значение корня четвертой степени:

$\sqrt[4]{16} = 2$, так как $2^4 = 16$.

Ответ: 2