Номер 43.35, страница 179, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§43. Свойства логарифмов. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 43.35, страница 179.

43.35 a) $\log_2 3x = \log_2 4 + \log_2 6$;

б) $\log_{\sqrt{3}} \left(\frac{x}{2}\right) = \log_{\sqrt{3}} 6 + \log_{\sqrt{3}} 2$;

в) $\log_4 5x = \log_4 35 - \log_4 7$;

г) $\log_{\sqrt{2}} \left(\frac{x}{3}\right) = \log_{\sqrt{2}} 15 - \log_{\sqrt{2}} 6$.

а) $log_{2}3x = log_{2}4 + log_{2}6$
В правой части уравнения применим свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $log_{a}b + log_{a}c = log_{a}(bc)$.
$log_{2}4 + log_{2}6 = log_{2}(4 \cdot 6) = log_{2}24$
Получаем уравнение: $log_{2}3x = log_{2}24$
Поскольку основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:
$3x = 24$
$x = \frac{24}{3} = 8$
Область допустимых значений (ОДЗ) для исходного уравнения определяется условием, что аргумент логарифма должен быть положительным: $3x > 0$, то есть $x > 0$. Найденный корень $x=8$ удовлетворяет этому условию.
Ответ: 8

б) $log_{\sqrt{3}}(\frac{x}{2}) = log_{\sqrt{3}}6 + log_{\sqrt{3}}2$
Преобразуем правую часть, используя свойство суммы логарифмов $log_{a}b + log_{a}c = log_{a}(bc)$:
$log_{\sqrt{3}}6 + log_{\sqrt{3}}2 = log_{\sqrt{3}}(6 \cdot 2) = log_{\sqrt{3}}12$
Уравнение принимает вид: $log_{\sqrt{3}}(\frac{x}{2}) = log_{\sqrt{3}}12$
Приравниваем аргументы, так как основания логарифмов одинаковы:
$\frac{x}{2} = 12$
$x = 12 \cdot 2 = 24$
ОДЗ: Аргумент логарифма должен быть положителен $\frac{x}{2} > 0$, что означает $x > 0$. Корень $x=24$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 24

в) $log_{4}5x = log_{4}35 - log_{4}7$
В правой части уравнения применим свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $log_{a}b - log_{a}c = log_{a}(\frac{b}{c})$.
$log_{4}35 - log_{4}7 = log_{4}(\frac{35}{7}) = log_{4}5$
Получаем уравнение: $log_{4}5x = log_{4}5$
Приравниваем аргументы логарифмов, так как их основания равны:
$5x = 5$
$x = \frac{5}{5} = 1$
ОДЗ: $5x > 0$, то есть $x > 0$. Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 1

г) $log_{\sqrt{2}}(\frac{x}{3}) = log_{\sqrt{2}}15 - log_{\sqrt{2}}6$
Преобразуем правую часть, используя свойство разности логарифмов $log_{a}b - log_{a}c = log_{a}(\frac{b}{c})$:
$log_{\sqrt{2}}15 - log_{\sqrt{2}}6 = log_{\sqrt{2}}(\frac{15}{6}) = log_{\sqrt{2}}(\frac{5}{2})$
Уравнение принимает вид: $log_{\sqrt{2}}(\frac{x}{3}) = log_{\sqrt{2}}(\frac{5}{2})$
Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$\frac{x}{3} = \frac{5}{2}$
$x = 3 \cdot \frac{5}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$
ОДЗ: $\frac{x}{3} > 0$, что означает $x > 0$. Корень $x=7.5$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 7.5