Номер 43.40, страница 179, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§43. Свойства логарифмов. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 43.40, страница 179.

43.40 Сравните числа:

а) $log_3 4$ и $\sqrt[4]{2}$;

б) $log_2 3$ и $\sqrt[3]{7}$.

a) Сравним числа $ \log_3 4 $ и $ \sqrt[4]{2} $.

Для решения этой задачи воспользуемся методом сравнения с промежуточным рациональным числом. В качестве такого числа удобно выбрать $ \frac{5}{4} = 1,25 $.

1. Сравним $ \log_3 4 $ с числом $ \frac{5}{4} $.
Сравнение $ \log_3 4 $ и $ \frac{5}{4} $ эквивалентно сравнению чисел $ 3^{\log_3 4} $ и $ 3^{5/4} $, поскольку показательная функция $ y=3^x $ является возрастающей (основание $ 3 > 1 $).
Итак, сравним $ 4 $ и $ 3^{5/4} $.
Чтобы избавиться от дробного показателя, возведем оба положительных числа в 4-ю степень. Знак неравенства при этом не изменится.
Сравниваем $ 4^4 $ и $ (3^{5/4})^4 $.
$ 4^4 = 256 $
$ (3^{5/4})^4 = 3^5 = 243 $
Поскольку $ 256 > 243 $, то $ 4^4 > 3^5 $, и, следовательно, $ 4 > 3^{5/4} $.
Отсюда следует, что $ \log_3 4 > \log_3(3^{5/4}) $, то есть $ \log_3 4 > \frac{5}{4} $.

2. Сравним $ \sqrt[4]{2} $ с числом $ \frac{5}{4} $.
Оба числа положительны, поэтому мы можем возвести их в 4-ю степень, сохранив знак неравенства.
Сравниваем $ (\sqrt[4]{2})^4 $ и $ (\frac{5}{4})^4 $.
$ (\sqrt[4]{2})^4 = 2 $
$ (\frac{5}{4})^4 = \frac{5^4}{4^4} = \frac{625}{256} $
Для сравнения $ 2 $ и $ \frac{625}{256} $, представим $ 2 $ в виде дроби со знаменателем 256: $ 2 = \frac{2 \cdot 256}{256} = \frac{512}{256} $.
Поскольку $ 512 < 625 $, то $ \frac{512}{256} < \frac{625}{256} $, а значит $ 2 < (\frac{5}{4})^4 $.
Следовательно, $ \sqrt[4]{2} < \frac{5}{4} $.

3. На основе полученных результатов делаем вывод.
Мы установили, что $ \log_3 4 > \frac{5}{4} $ и $ \sqrt[4]{2} < \frac{5}{4} $.
Таким образом, $ \sqrt[4]{2} < \frac{5}{4} < \log_3 4 $.

Ответ: $ \log_3 4 > \sqrt[4]{2} $.

б) Сравним числа $ \log_2 3 $ и $ \sqrt[3]{7} $.

Как и в предыдущем пункте, используем метод сравнения с промежуточным числом. Выберем в качестве такого числа $ \frac{8}{5} = 1,6 $.

1. Сравним $ \log_2 3 $ с числом $ \frac{8}{5} $.
Это сравнение эквивалентно сравнению чисел $ 2^{\log_2 3} $ и $ 2^{8/5} $ (так как функция $ y=2^x $ возрастающая при $ 2>1 $).
Итак, сравним $ 3 $ и $ 2^{8/5} $.
Возведем оба положительных числа в 5-ю степень.
Сравниваем $ 3^5 $ и $ (2^{8/5})^5 $.
$ 3^5 = 243 $
$ (2^{8/5})^5 = 2^8 = 256 $
Поскольку $ 243 < 256 $, то $ 3^5 < 2^8 $, и, следовательно, $ 3 < 2^{8/5} $.
Так как логарифмическая функция $ y=\log_2 x $ является возрастающей, из $ 3 < 2^{8/5} $ следует $ \log_2 3 < \log_2(2^{8/5}) $, то есть $ \log_2 3 < \frac{8}{5} $.

2. Сравним $ \sqrt[3]{7} $ с числом $ \frac{8}{5} $.
Возведем оба положительных числа в 3-ю степень.
Сравниваем $ (\sqrt[3]{7})^3 $ и $ (\frac{8}{5})^3 $.
$ (\sqrt[3]{7})^3 = 7 $
$ (\frac{8}{5})^3 = \frac{8^3}{5^3} = \frac{512}{125} $
Для сравнения $ 7 $ и $ \frac{512}{125} $, представим $ 7 $ в виде дроби со знаменателем 125: $ 7 = \frac{7 \cdot 125}{125} = \frac{875}{125} $.
Поскольку $ 875 > 512 $, то $ \frac{875}{125} > \frac{512}{125} $, а значит $ 7 > (\frac{8}{5})^3 $.
Следовательно, $ \sqrt[3]{7} > \frac{8}{5} $.

3. На основе полученных результатов делаем вывод.
Мы установили, что $ \log_2 3 < \frac{8}{5} $ и $ \sqrt[3]{7} > \frac{8}{5} $.
Таким образом, $ \log_2 3 < \frac{8}{5} < \sqrt[3]{7} $.

Ответ: $ \log_2 3 < \sqrt[3]{7} $.