Номер 44.1, страница 180, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§44. Логарифмические уравнения. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 44.1, страница 180.

Решите уравнение:

44.1 а) $\log_2(3x - 6) = \log_2(2x - 3);$

б) $\log_6(14 - 4x) = \log_6(2x + 2);$

в) $\log_{\frac{1}{6}}(7x - 9) = \log_{\frac{1}{6}} x;$

г) $\log_{0.2}(12x + 8) = \log_{0.2}(11x + 7).$

а) $\log_2(3x - 6) = \log_2(2x - 3)$

Уравнение вида $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ равносильно системе, в которой приравниваются подлогарифмические выражения и накладывается условие их положительности (область допустимых значений, ОДЗ).
$\begin{cases} 3x - 6 = 2x - 3 \\ 2x - 3 > 0 \end{cases}$
Поскольку подлогарифмические выражения равны, достаточно проверить условие положительности только для одного из них.
Решим первое уравнение системы:
$3x - 2x = 6 - 3$
$x = 3$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=3$ области допустимых значений, подставив его в неравенство $2x - 3 > 0$:
$2 \cdot 3 - 3 = 6 - 3 = 3$
$3 > 0$. Условие выполняется.
Следовательно, $x = 3$ является решением уравнения.
Ответ: $3$.

б) $\log_6(14 - 4x) = \log_6(2x + 2)$

Данное уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} 14 - 4x = 2x + 2 \\ 2x + 2 > 0 \end{cases}$
Решим уравнение:
$14 - 2 = 2x + 4x$
$12 = 6x$
$x = \frac{12}{6}$
$x = 2$
Проверим корень по ОДЗ ($2x + 2 > 0$):
$2 \cdot 2 + 2 = 4 + 2 = 6$
$6 > 0$. Условие выполняется.
Следовательно, $x = 2$ является решением уравнения.
Ответ: $2$.

в) $\log_{\frac{1}{6}}(7x - 9) = \log_{\frac{1}{6}}(x)$

Данное уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} 7x - 9 = x \\ x > 0 \end{cases}$
Решим уравнение:
$7x - x = 9$
$6x = 9$
$x = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1,5$
Проверим корень по ОДЗ ($x > 0$):
$1,5 > 0$. Условие выполняется.
Следовательно, $x = 1,5$ является решением уравнения.
Ответ: $1,5$.

г) $\log_{0,2}(12x + 8) = \log_{0,2}(11x + 7)$

Данное уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} 12x + 8 = 11x + 7 \\ 11x + 7 > 0 \end{cases}$
Решим уравнение:
$12x - 11x = 7 - 8$
$x = -1$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x = -1$ ОДЗ ($11x + 7 > 0$):
$11 \cdot (-1) + 7 = -11 + 7 = -4$
Неравенство $-4 > 0$ является ложным.
Поскольку корень $x = -1$ не входит в область допустимых значений, исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: корней нет.