Номер 44.4, страница 180, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§44. Логарифмические уравнения. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 44.4, страница 180.

44.4 a) $ \log_3(x^2 - 11x + 27) = 2; $

б) $ \log_{\frac{1}{7}}(x^2 + x - 5) = -1; $

В) $ \log_2(x^2 - 3x - 10) = 3; $

Г) $ \log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 3x - 1) = -2. $

а) $\log_3(x^2 - 11x + 27) = 2$
По определению логарифма, данное уравнение равносильно следующему:
$x^2 - 11x + 27 = 3^2$
$x^2 - 11x + 27 = 9$
$x^2 - 11x + 18 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 11, а произведение равно 18. Следовательно, корни уравнения:
$x_1 = 2$
$x_2 = 9$
Поскольку правая часть исходного уравнения после потенцирования равна $3^2=9$, что больше нуля, то область допустимых значений ($x^2 - 11x + 27 > 0$) для найденных корней выполняется.
Ответ: $2; 9$.

б) $\log_{\frac{1}{7}}(x^2 + x - 5) = -1$
По определению логарифма, уравнение равносильно:
$x^2 + x - 5 = (\frac{1}{7})^{-1}$
$x^2 + x - 5 = 7$
$x^2 + x - 12 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение равно -12. Следовательно, корни уравнения:
$x_1 = -4$
$x_2 = 3$
Поскольку $(\frac{1}{7})^{-1} = 7 > 0$, то область допустимых значений ($x^2 + x - 5 > 0$) для найденных корней выполняется.
Ответ: $-4; 3$.

в) $\log_2(x^2 - 3x - 10) = 3$
По определению логарифма, уравнение равносильно:
$x^2 - 3x - 10 = 2^3$
$x^2 - 3x - 10 = 8$
$x^2 - 3x - 18 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно -18. Следовательно, корни уравнения:
$x_1 = -3$
$x_2 = 6$
Поскольку $2^3 = 8 > 0$, то область допустимых значений ($x^2 - 3x - 10 > 0$) для найденных корней выполняется.
Ответ: $-3; 6$.

г) $\log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 3x - 1) = -2$
По определению логарифма, уравнение равносильно:
$x^2 + 3x - 1 = (\frac{1}{3})^{-2}$
$x^2 + 3x - 1 = 3^2$
$x^2 + 3x - 1 = 9$
$x^2 + 3x - 10 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -3, а произведение равно -10. Следовательно, корни уравнения:
$x_1 = -5$
$x_2 = 2$
Поскольку $(\frac{1}{3})^{-2} = 9 > 0$, то область допустимых значений ($x^2 + 3x - 1 > 0$) для найденных корней выполняется.
Ответ: $-5; 2$.