Номер 43.39, страница 179, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§43. Свойства логарифмов. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 43.39, страница 179.

43.39 a) $y = \log_2 \frac{4}{x}$;

б) $y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{x^3}{27}$;

В) $y = \log_3 9x^3$;

Г) $y = \log_{\frac{1}{2}} \frac{8}{x}$.

а) Для функции $y = \log_2 \frac{4}{x}$ применим свойство логарифма частного $\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$.
Получаем:
$y = \log_2 4 - \log_2 x$
Поскольку $2^2 = 4$, то $\log_2 4 = 2$.
Подставляем это значение в уравнение:
$y = 2 - \log_2 x$
Область определения исходной функции задается неравенством $\frac{4}{x} > 0$, что означает $x > 0$. Упрощенная функция имеет ту же область определения.
Ответ: $y = 2 - \log_2 x$.

б) Для функции $y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{x^3}{27}$ применим свойство логарифма частного:
$y = \log_{\frac{1}{3}} x^3 - \log_{\frac{1}{3}} 27$
Далее используем свойство логарифма степени $\log_a b^p = p \log_a b$ для первого слагаемого:
$\log_{\frac{1}{3}} x^3 = 3 \log_{\frac{1}{3}} x$
Теперь вычислим значение второго слагаемого $\log_{\frac{1}{3}} 27$. Мы ищем такое число $k$, что $(\frac{1}{3})^k = 27$.
Так как $\frac{1}{3} = 3^{-1}$ и $27 = 3^3$, то получаем $(3^{-1})^k = 3^3$, или $3^{-k} = 3^3$. Отсюда $-k = 3$, то есть $k = -3$.
Значит, $\log_{\frac{1}{3}} 27 = -3$.
Подставляем все в исходное выражение:
$y = 3 \log_{\frac{1}{3}} x - (-3) = 3 \log_{\frac{1}{3}} x + 3$
Область определения: $\frac{x^3}{27} > 0$, что равносильно $x > 0$.
Ответ: $y = 3 \log_{\frac{1}{3}} x + 3$.

в) Для функции $y = \log_3 9x^3$ применим свойство логарифма произведения $\log_a (b \cdot c) = \log_a b + \log_a c$:
$y = \log_3 9 + \log_3 x^3$
Вычислим первое слагаемое: так как $3^2 = 9$, то $\log_3 9 = 2$.
Для второго слагаемого применим свойство логарифма степени: $\log_3 x^3 = 3 \log_3 x$.
Собираем выражение:
$y = 2 + 3 \log_3 x$
Область определения: $9x^3 > 0$, что равносильно $x > 0$.
Ответ: $y = 2 + 3 \log_3 x$.

г) Для функции $y = \log_{\frac{1}{2}} \frac{8}{x}$ применим свойство логарифма частного:
$y = \log_{\frac{1}{2}} 8 - \log_{\frac{1}{2}} x$
Вычислим значение $\log_{\frac{1}{2}} 8$. Мы ищем такое число $k$, что $(\frac{1}{2})^k = 8$.
Так как $\frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $8 = 2^3$, то получаем $(2^{-1})^k = 2^3$, или $2^{-k} = 2^3$. Отсюда $-k = 3$, то есть $k = -3$.
Значит, $\log_{\frac{1}{2}} 8 = -3$.
Подставляем значение в уравнение:
$y = -3 - \log_{\frac{1}{2}} x$
Область определения: $\frac{8}{x} > 0$, что равносильно $x > 0$.
Ответ: $y = -3 - \log_{\frac{1}{2}} x$.