Номер 43.31, страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§43. Свойства логарифмов. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 43.31, страница 178.

43.31 Положительное число $b$ записано в стандартном виде $b = b_0 \cdot 10^n$, где $1 \le b_0 < 10$ и $n$ — целое число. Найдите десятичный логарифм числа $b$:

а) $b = 9 \cdot 10^2;$
б) $b = 9 \cdot 10^{-3};$
в) $b = 9 \cdot 10^4;$
г) $b = 9 \cdot 10^{-5}.$

(Для справки: $lg9 \approx 0,95$.)

Для нахождения десятичного логарифма числа $b$, записанного в стандартном виде $b = b_0 \cdot 10^n$, используется свойство логарифма произведения и логарифма степени. Десятичный логарифм (обозначается как $\lg$) — это логарифм по основанию 10.

Общая формула для вычисления выглядит так:

$\lg b = \lg(b_0 \cdot 10^n)$

Используя свойство логарифма произведения $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$, получаем:

$\lg(b_0 \cdot 10^n) = \lg b_0 + \lg 10^n$

Используя свойство логарифма степени $\log_a(x^p) = p \log_a x$, получаем:

$\lg 10^n = n \cdot \lg 10$

Поскольку $\lg 10 = \log_{10} 10 = 1$, то $\lg 10^n = n$.

Таким образом, итоговая формула: $\lg b = \lg b_0 + n$.

В условии дано приближенное значение $\lg 9 \approx 0,95$. Применим эту формулу для каждого случая.

а) $b = 9 \cdot 10^2$

Здесь $b_0 = 9$ и $n = 2$.

$\lg(9 \cdot 10^2) = \lg 9 + 2$

Подставляем значение $\lg 9$:

$\lg b \approx 0,95 + 2 = 2,95$

Ответ: $2,95$

б) $b = 9 \cdot 10^{-3}$

Здесь $b_0 = 9$ и $n = -3$.

$\lg(9 \cdot 10^{-3}) = \lg 9 + (-3) = \lg 9 - 3$

Подставляем значение $\lg 9$:

$\lg b \approx 0,95 - 3 = -2,05$

Ответ: $-2,05$

в) $b = 9 \cdot 10^4$

Здесь $b_0 = 9$ и $n = 4$.

$\lg(9 \cdot 10^4) = \lg 9 + 4$

Подставляем значение $\lg 9$:

$\lg b \approx 0,95 + 4 = 4,95$

Ответ: $4,95$

г) $b = 9 \cdot 10^{-5}$

Здесь $b_0 = 9$ и $n = -5$.

$\lg(9 \cdot 10^{-5}) = \lg 9 + (-5) = \lg 9 - 5$

Подставляем значение $\lg 9$:

$\lg b \approx 0,95 - 5 = -4,05$

Ответ: $-4,05$