Номер 43.26, страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§43. Свойства логарифмов. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 43.26, страница 178.

43.26 а) $2^{3 \log_2 4}$;

б) $(\frac{1}{2})^{2 \log_{\frac{1}{2}} 7}$;

В) $5^{2 \log_5 3}$;

Г) $(0,3)^{3 \log_{0,3} 6}$.

а) Для вычисления значения выражения $2^{3 \log_2 4}$ воспользуемся свойством логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$ и основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a x} = x$.
Сначала преобразуем показатель степени:
$3 \log_2 4 = \log_2 (4^3) = \log_2 64$.
Теперь подставим это обратно в исходное выражение:
$2^{3 \log_2 4} = 2^{\log_2 64}$.
Наконец, применяя основное логарифмическое тождество, получаем:
$2^{\log_2 64} = 64$.
Ответ: 64.

б) Для вычисления значения выражения $(\frac{1}{2})^{2 \log_{\frac{1}{2}} 7}$ используем те же свойства.
Преобразуем показатель степени, используя свойство $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$:
$2 \log_{\frac{1}{2}} 7 = \log_{\frac{1}{2}} (7^2) = \log_{\frac{1}{2}} 49$.
Подставим преобразованный показатель в исходное выражение:
$(\frac{1}{2})^{2 \log_{\frac{1}{2}} 7} = (\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 49}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a x} = x$:
$(\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 49} = 49$.
Ответ: 49.

в) Вычислим значение выражения $5^{2 \log_5 3}$.
Применим свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$ к показателю степени:
$2 \log_5 3 = \log_5 (3^2) = \log_5 9$.
Подставим это в исходное выражение:
$5^{2 \log_5 3} = 5^{\log_5 9}$.
Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a x} = x$, получаем:
$5^{\log_5 9} = 9$.
Ответ: 9.

г) Вычислим значение выражения $(0,3)^{3 \log_{0,3} 6}$.
Воспользуемся свойством $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$ для преобразования показателя степени:
$3 \log_{0,3} 6 = \log_{0,3} (6^3) = \log_{0,3} 216$.
Теперь подставим полученное выражение обратно:
$(0,3)^{3 \log_{0,3} 6} = (0,3)^{\log_{0,3} 216}$.
Применяя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a x} = x$, находим результат:
$(0,3)^{\log_{0,3} 216} = 216$.
Ответ: 216.