Номер 43.14, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§43. Свойства логарифмов. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 43.14, страница 176.

43.14 Прологарифмируйте по основанию 2:

а) $16a^2b^3$;

б) $\frac{1}{8}a(\sqrt{b})^7$;

в) $48a\sqrt{a} \cdot b^4$;

г) $\frac{b^3}{4a^5}$.

а) Для того чтобы прологарифмировать выражение $16a^2b^3$ по основанию 2, воспользуемся свойствами логарифма. Сначала применим свойство логарифма произведения $\log_c(xyz) = \log_c(x) + \log_c(y) + \log_c(z)$:
$\log_2(16a^2b^3) = \log_2(16) + \log_2(a^2) + \log_2(b^3)$.
Затем применим свойство логарифма степени $\log_c(x^n) = n\log_c(x)$:
$\log_2(16) + 2\log_2(a) + 3\log_2(b)$.
Так как $16 = 2^4$, то $\log_2(16) = \log_2(2^4) = 4$. В итоге получаем:
$4 + 2\log_2(a) + 3\log_2(b)$.

Ответ: $4 + 2\log_2(a) + 3\log_2(b)$.

б) Прологарифмируем выражение $\frac{1}{8}a(\sqrt{b})^7$ по основанию 2. Сначала преобразуем выражение: $\frac{1}{8} = 2^{-3}$ и $(\sqrt{b})^7 = (b^{1/2})^7 = b^{7/2}$. Таким образом, исходное выражение равно $2^{-3}ab^{7/2}$.
Теперь логарифмируем, используя свойство логарифма произведения:
$\log_2(2^{-3}ab^{7/2}) = \log_2(2^{-3}) + \log_2(a) + \log_2(b^{7/2})$.
Используем свойство логарифма степени:
$-3\log_2(2) + \log_2(a) + \frac{7}{2}\log_2(b)$.
Так как $\log_2(2) = 1$, получаем:
$-3 + \log_2(a) + \frac{7}{2}\log_2(b)$.

Ответ: $-3 + \log_2(a) + \frac{7}{2}\log_2(b)$.

в) Прологарифмируем выражение $48a\sqrt{a} \cdot b^4$ по основанию 2. Упростим выражение: $a\sqrt{a} = a^1 \cdot a^{1/2} = a^{3/2}$. Число 48 представим как произведение $48 = 16 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$. Исходное выражение: $2^4 \cdot 3 \cdot a^{3/2}b^4$.
Применяем свойство логарифма произведения:
$\log_2(2^4 \cdot 3 \cdot a^{3/2}b^4) = \log_2(2^4) + \log_2(3) + \log_2(a^{3/2}) + \log_2(b^4)$.
Применяем свойство логарифма степени:
$4\log_2(2) + \log_2(3) + \frac{3}{2}\log_2(a) + 4\log_2(b)$.
Учитывая, что $\log_2(2) = 1$, получаем:
$4 + \log_2(3) + \frac{3}{2}\log_2(a) + 4\log_2(b)$.

Ответ: $4 + \log_2(3) + \frac{3}{2}\log_2(a) + 4\log_2(b)$.

г) Прологарифмируем выражение $\frac{b^3}{4a^5}$ по основанию 2. Используем свойство логарифма частного $\log_c(\frac{x}{y}) = \log_c(x) - \log_c(y)$:
$\log_2\left(\frac{b^3}{4a^5}\right) = \log_2(b^3) - \log_2(4a^5)$.
Для второго слагаемого применим свойство логарифма произведения:
$\log_2(b^3) - (\log_2(4) + \log_2(a^5)) = \log_2(b^3) - \log_2(4) - \log_2(a^5)$.
Теперь применим свойство логарифма степени:
$3\log_2(b) - \log_2(2^2) - 5\log_2(a)$.
Так как $\log_2(2^2) = 2$, окончательный результат:
$3\log_2(b) - 2 - 5\log_2(a)$.

Ответ: $3\log_2(b) - 2 - 5\log_2(a)$.