Номер 43.4, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§43. Свойства логарифмов. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 43.4, страница 175.

43.4 a) $\log_{\sqrt{3}} 6 - \log_{\sqrt{3}} 2\sqrt{3};$

б) $\log_{\sqrt{2}} 7\sqrt{2} - \log_{\sqrt{2}} 14;$

В) $\log_{\frac{2}{3}} 32 - \log_{\frac{2}{3}} 243;$

Г) $\log_{0,1} 0,003 - \log_{0,1} 0,03.$

а)

Для решения этого примера воспользуемся свойством разности логарифмов с одинаковым основанием: $ \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} $.

$ \log_{\sqrt{3}} 6 - \log_{\sqrt{3}} 2\sqrt{3} = \log_{\sqrt{3}} \left(\frac{6}{2\sqrt{3}}\right) $

Упростим выражение в скобках:

$ \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3})^2}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} $

Подставим упрощенное значение обратно в логарифм. По определению логарифма $ \log_b b = 1 $.

$ \log_{\sqrt{3}} (\sqrt{3}) = 1 $

Ответ: 1

б)

Используем то же свойство разности логарифмов:

$ \log_{\sqrt{2}} 7\sqrt{2} - \log_{\sqrt{2}} 14 = \log_{\sqrt{2}} \left(\frac{7\sqrt{2}}{14}\right) $

Упростим дробь под знаком логарифма:

$ \frac{7\sqrt{2}}{14} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} = \frac{1}{\sqrt{2}} $

Представим результат в виде степени с основанием $ \sqrt{2} $:

$ \frac{1}{\sqrt{2}} = (\sqrt{2})^{-1} $

Тогда исходное выражение равно:

$ \log_{\sqrt{2}} ((\sqrt{2})^{-1}) = -1 \cdot \log_{\sqrt{2}} (\sqrt{2}) = -1 \cdot 1 = -1 $

Ответ: -1

в)

Применим свойство разности логарифмов:

$ \log_{\frac{2}{3}} 32 - \log_{\frac{2}{3}} 243 = \log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{32}{243}\right) $

Представим числитель и знаменатель дроби в виде степеней: $ 32 = 2^5 $ и $ 243 = 3^5 $.

Тогда дробь равна:

$ \frac{32}{243} = \frac{2^5}{3^5} = \left(\frac{2}{3}\right)^5 $

Подставим это значение в логарифм и воспользуемся свойством $ \log_a(b^p) = p \log_a b $:

$ \log_{\frac{2}{3}} \left(\left(\frac{2}{3}\right)^5\right) = 5 \cdot \log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{2}{3}\right) = 5 \cdot 1 = 5 $

Ответ: 5

г)

Воспользуемся свойством разности логарифмов:

$ \log_{0,1} 0,003 - \log_{0,1} 0,03 = \log_{0,1} \left(\frac{0,003}{0,03}\right) $

Упростим выражение под знаком логарифма:

$ \frac{0,003}{0,03} = \frac{3 \cdot 10^{-3}}{3 \cdot 10^{-2}} = 10^{-3 - (-2)} = 10^{-1} = 0,1 $

Получаем:

$ \log_{0,1} (0,1) = 1 $

Ответ: 1