Номер 42.29, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§42. Функция у = log a x, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 42.29, страница 174.

42.29 При каких значениях $x$ график заданной логарифмической функции лежит ниже графика заданной линейной функции:

а) $y = \log_4(x - 1)$, $y = -x + 2$;

б) $y = \log_{\frac{1}{2}}(x + 4)$, $y = 3x - 2?$

Чтобы найти значения $x$, при которых график логарифмической функции лежит ниже графика линейной функции, необходимо решить соответствующее неравенство: логарифмическая функция < линейная функция.

а) $y = \log_4(x - 1)$, $y = -x + 2$

Необходимо решить неравенство:

$\log_4(x - 1) < -x + 2$

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положительным:

$x - 1 > 0 \implies x > 1$

ОДЗ: $x \in (1, +\infty)$.

2. Анализ функций. Рассмотрим функции $f(x) = \log_4(x - 1)$ и $g(x) = -x + 2$.

Функция $f(x)$ является возрастающей на всей области определения, так как основание логарифма $4 > 1$.

Функция $g(x)$ является убывающей, так как это линейная функция с отрицательным угловым коэффициентом $-1$.

3. Нахождение точки пересечения. Поскольку одна функция возрастает, а другая убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем эту точку, решив уравнение $f(x) = g(x)$:

$\log_4(x - 1) = -x + 2$

Подбором находим корень. При $x = 2$:

Левая часть: $\log_4(2 - 1) = \log_4(1) = 0$.

Правая часть: $-2 + 2 = 0$.

Следовательно, $x = 2$ — единственная точка пересечения.

4. Решение неравенства. Мы ищем значения $x$, при которых $f(x) < g(x)$. Так как $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, неравенство $f(x) < g(x)$ будет выполняться для всех $x$ левее точки пересечения, то есть при $x < 2$.

5. Итоговый ответ. Объединим полученное решение с ОДЗ:

$x < 2$ и $x > 1 \implies 1 < x < 2$.

Ответ: $x \in (1, 2)$.

б) $y = \log_{\frac{1}{2}}(x + 4)$, $y = 3x - 2$

Необходимо решить неравенство:

$\log_{\frac{1}{2}}(x + 4) < 3x - 2$

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положительным:

$x + 4 > 0 \implies x > -4$

ОДЗ: $x \in (-4, +\infty)$.

2. Анализ функций. Рассмотрим функции $f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x + 4)$ и $g(x) = 3x - 2$.

Функция $f(x)$ является убывающей на всей области определения, так как основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$.

Функция $g(x)$ является возрастающей, так как это линейная функция с положительным угловым коэффициентом $3$.

3. Нахождение точки пересечения. Поскольку одна функция убывает, а другая возрастает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем эту точку, решив уравнение $f(x) = g(x)$:

$\log_{\frac{1}{2}}(x + 4) = 3x - 2$

Подбором находим корень. При $x = 0$:

Левая часть: $\log_{\frac{1}{2}}(0 + 4) = \log_{\frac{1}{2}}(4) = -2$.

Правая часть: $3 \cdot 0 - 2 = -2$.

Следовательно, $x = 0$ — единственная точка пересечения.

4. Решение неравенства. Мы ищем значения $x$, при которых $f(x) < g(x)$. Так как $f(x)$ убывает, а $g(x)$ возрастает, неравенство $f(x) < g(x)$ будет выполняться для всех $x$ правее точки пересечения, то есть при $x > 0$.

5. Итоговый ответ. Объединим полученное решение с ОДЗ:

$x > 0$ и $x > -4 \implies x > 0$.

Ответ: $x \in (0, +\infty)$.