Номер 43.3, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§43. Свойства логарифмов. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 43.3, страница 175.

43.3 a) $log_3 7 - log_3 \frac{7}{9};$

Б) $log_2 15 - log_2 30;$

В) $log_{\frac{1}{2}} 28 - log_{\frac{1}{2}} 7;$

Г) $log_{0.2} 40 - log_{0.2} 8.$

а) Для решения этого примера воспользуемся свойством разности логарифмов с одинаковым основанием: $ \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} $.
Применяем это свойство к нашему выражению:
$ \log_3 7 - \log_3 \frac{7}{9} = \log_3 \left(7 : \frac{7}{9}\right) $.
Теперь упростим выражение в скобках. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:
$ \log_3 \left(7 \cdot \frac{9}{7}\right) = \log_3 9 $.
Чтобы найти значение $ \log_3 9 $, нужно ответить на вопрос: в какую степень нужно возвести основание 3, чтобы получить 9? Так как $ 3^2 = 9 $, то $ \log_3 9 = 2 $.
Ответ: 2

б) Используем то же свойство разности логарифмов: $ \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} $.
$ \log_2 15 - \log_2 30 = \log_2 \frac{15}{30} $.
Упрощаем дробь под знаком логарифма:
$ \log_2 \frac{1}{2} $.
По определению логарифма, нам нужно найти степень, в которую нужно возвести 2, чтобы получить $ \frac{1}{2} $. Так как $ 2^{-1} = \frac{1}{2} $, то $ \log_2 \frac{1}{2} = -1 $.
Ответ: -1

в) Применяем свойство разности логарифмов $ \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} $ для основания $ a = \frac{1}{2} $.
$ \log_{\frac{1}{2}} 28 - \log_{\frac{1}{2}} 7 = \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{28}{7}\right) $.
Выполняем деление под знаком логарифма:
$ \log_{\frac{1}{2}} 4 $.
Теперь найдем значение логарифма. Пусть $ \log_{\frac{1}{2}} 4 = x $. По определению логарифма это означает, что $ \left(\frac{1}{2}\right)^x = 4 $.
Представим обе части уравнения в виде степеней с основанием 2: $ (2^{-1})^x = 2^2 $.
$ 2^{-x} = 2^2 $.
Приравнивая показатели степени, получаем $ -x = 2 $, откуда $ x = -2 $.
Ответ: -2

г) Снова используем правило разности логарифмов: $ \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} $.
$ \log_{0,2} 40 - \log_{0,2} 8 = \log_{0,2} \left(\frac{40}{8}\right) $.
Упрощаем выражение под логарифмом:
$ \log_{0,2} 5 $.
Чтобы найти значение этого выражения, представим основание логарифма 0,2 в виде обыкновенной дроби: $ 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $.
Итак, нам нужно найти $ \log_{\frac{1}{5}} 5 $.
В какую степень нужно возвести $ \frac{1}{5} $, чтобы получить 5? Так как $ \frac{1}{5} = 5^{-1} $, то $ \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} = (5^{-1})^{-1} = 5^1 = 5 $.
Следовательно, $ \log_{0,2} 5 = -1 $.
Ответ: -1