Номер 42.28, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§42. Функция у = log a x, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 42.28, страница 174.

42.28 При каких значениях аргумента график заданной логарифмической функции лежит выше графика заданной линейной функции:

a) $y = \log_2 x$, $y = -x + 1$;

б) $y = \log_{0.5} x$, $y = x - 1$;

в) $y = \log_{\frac{1}{3}} x$, $y = 7x$;

г) $y = \log_3 x$, $y = -3x$?

а) Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых график функции $y = \log_2 x$ лежит выше графика функции $y = -x + 1$, необходимо решить неравенство:
$\log_2 x > -x + 1$
Область определения логарифмической функции: $x > 0$.
Рассмотрим функции $f(x) = \log_2 x$ и $g(x) = -x + 1$. Функция $f(x) = \log_2 x$ является возрастающей на всей области определения, так как основание логарифма $2 > 1$. Функция $g(x) = -x + 1$ является убывающей на всей числовой прямой, так как угловой коэффициент равен $-1$.
Возрастающая и убывающая функции могут пересекаться не более одного раза. Найдем точку пересечения, решив уравнение $\log_2 x = -x + 1$.
Методом подбора находим, что $x=1$ является корнем уравнения: $\log_2 1 = 0$ и $-1 + 1 = 0$.
Так как $x=1$ — единственная точка пересечения, то на одном из интервалов $(0, 1)$ или $(1, +\infty)$ выполняется исходное неравенство. Поскольку функция $\log_2 x$ возрастает, а функция $-x+1$ убывает, то при $x > 1$ значения функции $\log_2 x$ будут больше значений функции $-x+1$.
Проверим, взяв точку $x=2$: $\log_2 2 = 1$, а $-2 + 1 = -1$. Неравенство $1 > -1$ верно. Следовательно, график логарифмической функции лежит выше графика линейной при $x > 1$.
Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

б) Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых график функции $y = \log_{0.5} x$ лежит выше графика функции $y = x - 1$, необходимо решить неравенство:
$\log_{0.5} x > x - 1$
Область определения: $x > 0$.
Рассмотрим функции $f(x) = \log_{0.5} x$ и $g(x) = x - 1$. Функция $f(x) = \log_{0.5} x$ является убывающей, так как основание $0.5 < 1$. Функция $g(x) = x - 1$ является возрастающей, так как угловой коэффициент равен $1$.
Убывающая и возрастающая функции могут пересекаться не более одного раза. Найдем точку пересечения из уравнения $\log_{0.5} x = x - 1$.
Методом подбора находим корень $x=1$: $\log_{0.5} 1 = 0$ и $1 - 1 = 0$.
Так как $x=1$ — единственная точка пересечения, то неравенство $\log_{0.5} x > x - 1$ будет выполняться либо при $0 < x < 1$, либо при $x > 1$. Поскольку функция $\log_{0.5} x$ убывает, а $x-1$ возрастает, то при $0 < x < 1$ значения логарифмической функции будут больше значений линейной.
Проверим, взяв точку $x=0.5$: $\log_{0.5} 0.5 = 1$, а $0.5 - 1 = -0.5$. Неравенство $1 > -0.5$ верно. Следовательно, решение неравенства — это интервал $(0, 1)$.
Ответ: $x \in (0, 1)$.

в) Требуется найти значения $x$, для которых выполняется неравенство:
$\log_{\frac{1}{3}} x > 7x$
Область определения: $x > 0$.
Рассмотрим функции $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $g(x) = 7x$. Функция $f(x)$ является убывающей (основание $1/3 < 1$), а функция $g(x)$ — возрастающей (коэффициент $7 > 0$). Следовательно, их графики могут пересечься не более чем в одной точке.
Пусть $x_0$ — абсцисса точки пересечения, то есть корень уравнения $\log_{\frac{1}{3}} x_0 = 7x_0$. Данное уравнение не решается аналитически в элементарных функциях.
Поскольку $f(x)$ убывает, а $g(x)$ возрастает, неравенство $f(x) > g(x)$ будет выполняться для всех $x$, которые меньше точки пересечения $x_0$.
С учетом области определения $x > 0$, решением неравенства является интервал $(0, x_0)$.
Ответ: $x \in (0, x_0)$, где $x_0$ — корень уравнения $\log_{\frac{1}{3}} x = 7x$.

г) Требуется найти значения $x$, для которых выполняется неравенство:
$\log_3 x > -3x$
Область определения: $x > 0$.
Рассмотрим функции $f(x) = \log_3 x$ и $g(x) = -3x$. Функция $f(x)$ является возрастающей (основание $3 > 1$). Функция $g(x)$ является убывающей (коэффициент $-3 < 0$).
Возрастающая и убывающая функции пересекаются не более одного раза. Найдем точку пересечения, решив уравнение $\log_3 x = -3x$.
Перепишем уравнение в виде $\log_3 x + 3x = 0$.
Методом подбора находим корень $x=1/3$: $\log_3 (1/3) + 3 \cdot (1/3) = -1 + 1 = 0$.
Так как $x=1/3$ — единственная точка пересечения, а функция $\log_3 x$ возрастает, а $-3x$ убывает, то неравенство $\log_3 x > -3x$ будет выполняться при $x > 1/3$.
Проверим, взяв точку $x=1$: $\log_3 1 = 0$, а $-3 \cdot 1 = -3$. Неравенство $0 > -3$ верно. Следовательно, решение неравенства — это интервал $(1/3, +\infty)$.
Ответ: $x \in (1/3, +\infty)$.