Номер 43.2, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§43. Свойства логарифмов. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 43.2, страница 175.

43.2 a) $log_{144} 3 + log_{144} 4;$

б) $log_{\frac{1}{8}} 4 + log_{\frac{1}{8}} 2;$

в) $log_{216} 2 + log_{216} 3;$

г) $log_{12} \frac{1}{2} + log_{12} \frac{1}{72}.$

а) Для решения используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $ \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) $.
Применяя это свойство, получаем:
$ \log_{144} 3 + \log_{144} 4 = \log_{144} (3 \cdot 4) = \log_{144} 12 $.
Чтобы найти значение этого выражения, нужно найти степень, в которую нужно возвести 144, чтобы получить 12. Пусть $ \log_{144} 12 = x $, тогда по определению логарифма $ 144^x = 12 $.
Мы знаем, что $ \sqrt{144} = 12 $, а квадратный корень можно записать как степень $ \frac{1}{2} $.
Следовательно, $ 144^{\frac{1}{2}} = 12 $, откуда $ x = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $.

б) Используем то же свойство суммы логарифмов:
$ \log_{\frac{1}{8}} 4 + \log_{\frac{1}{8}} 2 = \log_{\frac{1}{8}} (4 \cdot 2) = \log_{\frac{1}{8}} 8 $.
Пусть $ \log_{\frac{1}{8}} 8 = x $. Тогда $ (\frac{1}{8})^x = 8 $.
Так как $ \frac{1}{8} = 8^{-1} $, то уравнение можно переписать в виде $ (8^{-1})^x = 8^1 $, или $ 8^{-x} = 8^1 $.
Приравнивая показатели степеней, получаем $ -x = 1 $, откуда $ x = -1 $.
Ответ: $ -1 $.

в) Снова применяем свойство суммы логарифмов:
$ \log_{216} 2 + \log_{216} 3 = \log_{216} (2 \cdot 3) = \log_{216} 6 $.
Пусть $ \log_{216} 6 = x $. Это значит, что $ 216^x = 6 $.
Нам известно, что $ 6^3 = 216 $. Подставим это в наше уравнение: $ (6^3)^x = 6^1 $, что равносильно $ 6^{3x} = 6^1 $.
Приравнивая показатели, получаем $ 3x = 1 $, откуда $ x = \frac{1}{3} $.
Ответ: $ \frac{1}{3} $.

г) Используем свойство суммы логарифмов:
$ \log_{12} \frac{1}{2} + \log_{12} \frac{1}{72} = \log_{12} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{72}) = \log_{12} \frac{1}{144} $.
Пусть $ \log_{12} \frac{1}{144} = x $. Тогда по определению логарифма $ 12^x = \frac{1}{144} $.
Так как $ 144 = 12^2 $, то $ \frac{1}{144} = \frac{1}{12^2} = 12^{-2} $.
Наше уравнение принимает вид $ 12^x = 12^{-2} $.
Следовательно, $ x = -2 $.
Ответ: $ -2 $.