Номер 42.25, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§42. Функция у = log a x, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 42.25, страница 174.

42.25 а) $\log_9 x \le -1;$

б) $\log_{\frac{1}{3}} x < -4;$

в) $\log_5 x \ge -2;$

г) $\log_{0.2} x > -3.$

а) Исходное неравенство: $\log_9 x \le -1$.
Область допустимых значений (ОДЗ) логарифма определяется условием, что его аргумент должен быть строго положительным: $x > 0$.
Теперь решим само неравенство. Для этого представим правую часть неравенства в виде логарифма по тому же основанию, что и в левой части, то есть по основанию 9. Используя свойство $a = \log_b b^a$, получаем: $-1 = \log_9 9^{-1} = \log_9 \frac{1}{9}$.
Теперь неравенство можно переписать в виде: $\log_9 x \le \log_9 \frac{1}{9}$.
Так как основание логарифма $9 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_9 t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, и при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется: $x \le \frac{1}{9}$.
Чтобы найти окончательное решение, необходимо учесть ОДЗ. Составим систему из двух условий: $\begin{cases} x > 0 \\ x \le \frac{1}{9} \end{cases}$.
Решением этой системы является промежуток $0 < x \le \frac{1}{9}$.
Ответ: $(0; \frac{1}{9}]$.

б) Исходное неравенство: $\log_{\frac{1}{3}} x < -4$.
ОДЗ: аргумент логарифма должен быть больше нуля, следовательно, $x > 0$.
Представим правую часть неравенства в виде логарифма по основанию $\frac{1}{3}$: $-4 = \log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3})^{-4}$.
Вычислим значение степени: $(\frac{1}{3})^{-4} = (3^{-1})^{-4} = 3^{4} = 81$.
Таким образом, $-4 = \log_{\frac{1}{3}} 81$. Неравенство принимает вид: $\log_{\frac{1}{3}} x < \log_{\frac{1}{3}} 81$.
Основание логарифма $a = \frac{1}{3}$, и так как $0 < \frac{1}{3} < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{\frac{1}{3}} t$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента, поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный: $x > 81$.
Теперь объединим это решение с ОДЗ: $\begin{cases} x > 0 \\ x > 81 \end{cases}$.
Пересечением этих двух условий является $x > 81$.
Ответ: $(81; +\infty)$.

в) Исходное неравенство: $\log_5 x \ge -2$.
ОДЗ: $x > 0$.
Представим правую часть неравенства как логарифм по основанию 5: $-2 = \log_5 5^{-2} = \log_5 \frac{1}{5^2} = \log_5 \frac{1}{25}$.
Неравенство переписывается в виде: $\log_5 x \ge \log_5 \frac{1}{25}$.
Основание логарифма $a = 5 > 1$, поэтому логарифмическая функция возрастающая. Знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется: $x \ge \frac{1}{25}$.
Совмещая полученное решение с ОДЗ ($x > 0$), получаем систему: $\begin{cases} x > 0 \\ x \ge \frac{1}{25} \end{cases}$.
Так как $\frac{1}{25} > 0$, решением системы будет $x \ge \frac{1}{25}$.
Ответ: $[\frac{1}{25}; +\infty)$.

г) Исходное неравенство: $\log_{0.2} x > -3$.
ОДЗ: $x > 0$.
Представим основание логарифма $0.2$ в виде обыкновенной дроби: $0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Теперь представим правую часть неравенства, число -3, как логарифм по основанию $\frac{1}{5}$: $-3 = \log_{\frac{1}{5}} (\frac{1}{5})^{-3}$.
Вычислим значение степени: $(\frac{1}{5})^{-3} = (5^{-1})^{-3} = 5^3 = 125$.
Таким образом, $-3 = \log_{\frac{1}{5}} 125$.
Неравенство принимает вид: $\log_{\frac{1}{5}} x > \log_{\frac{1}{5}} 125$.
Основание логарифма $a = 0.2 = \frac{1}{5}$, и так как $0 < \frac{1}{5} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства необходимо изменить на противоположный: $x < 125$.
Найдём пересечение полученного решения с ОДЗ: $\begin{cases} x > 0 \\ x < 125 \end{cases}$.
Решением системы является двойное неравенство $0 < x < 125$.
Ответ: $(0; 125)$.