Номер 42.20, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. §42. Функция у = log a x, её свойства и график - номер 42.20, страница 173.

Условие.

42.20 Постройте и прочитайте график функции:

а) $y = \begin{cases} -4x + 4, & \text{если } x < 1 \\ \log_2 x, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} -(x - 4)^2, & \text{если } x < 5 \\ \log_{0.2} x, & \text{если } x \ge 5 \end{cases}$

в) $y = \begin{cases} \log_2 x, & \text{если } 0 < x < 2 \\ \left(\frac{1}{2}\right)^x, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$

г) $y = \begin{cases} \frac{1}{x}, & \text{если } x < 0 \\ \log_{\sqrt{2}} x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

а) $y = \begin{cases} -4x + 4, & \text{если } x < 1 \\ \log_2 x, & \text{если } x \geq 1 \end{cases}$

Построение графика:

1. На промежутке $(-\infty, 1)$ график функции совпадает с графиком линейной функции $y = -4x + 4$. Это прямая. Для ее построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=4$; если $x=1$ (граничная точка), то $y = -4(1) + 4 = 0$. Таким образом, график на этом промежутке — это луч, проходящий через точку $(0, 4)$ с началом в точке $(1, 0)$ (точка не включена, "выколота").

2. На промежутке $[1, +\infty)$ график функции совпадает с графиком логарифмической функции $y = \log_2 x$. Это возрастающая кривая. Найдем несколько точек: если $x=1$, то $y=\log_2 1 = 0$; если $x=2$, то $y=\log_2 2 = 1$; если $x=4$, то $y=\log_2 4 = 2$. График на этом промежутке — это часть логарифмической кривой, начинающаяся в точке $(1, 0)$ (точка включена).

3. Совмещая два графика, видим, что в точке $x=1$ они стыкуются (выколотая точка на луче совпадает с начальной точкой логарифмической кривой), поэтому функция непрерывна.

Свойства функции (чтение графика):

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
• Функция непрерывна на всей области определения.
• Функция не является ни четной, ни нечетной.
• Функция убывает на промежутке $(-\infty, 1]$ и возрастает на промежутке $[1, +\infty)$.
• Точка минимума $x_{min} = 1$, минимальное значение функции $y_{min} = 0$.
• Нули функции: $y=0$ при $x=1$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$.

Ответ: График состоит из луча прямой $y=-4x+4$ для $x < 1$ и ветви логарифмической кривой $y=\log_2 x$ для $x \geq 1$, которые соединяются в точке $(1,0)$. Основные свойства: область определения - все действительные числа, область значений - $[0, +\infty)$, функция убывает на $(-\infty, 1]$ и возрастает на $[1, +\infty)$, имеет точку минимума $(1, 0)$.

---

б) $y = \begin{cases} -(x - 4)^2, & \text{если } x < 5 \\ \log_{0,2} x, & \text{если } x \geq 5 \end{cases}$

Построение графика:

1. На промежутке $(-\infty, 5)$ график функции совпадает с графиком $y = -(x - 4)^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(4, 0)$. В граничной точке $x=5$ имеем $y=-(5-4)^2=-1$. Точка $(5, -1)$ является "выколотой".

2. На промежутке $[5, +\infty)$ график функции совпадает с графиком $y = \log_{0,2} x$. Так как основание логарифма $0,2 < 1$, это убывающая функция. В начальной точке $x=5$ имеем $y=\log_{0,2} 5 = \log_{1/5} 5 = -1$. Точка $(5, -1)$ включена. Другая точка: при $x=25$, $y=\log_{0,2} 25 = -2$.

3. Графики стыкуются в точке $(5, -1)$, следовательно, функция непрерывна.

Свойства функции (чтение графика):

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 0]$.
• Функция непрерывна на всей области определения.
• Функция не является ни четной, ни нечетной.
• Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 4]$ и убывает на промежутке $[4, +\infty)$.
• Точка максимума $x_{max} = 4$, максимальное значение функции $y_{max} = 0$.
• Нули функции: $y=0$ при $x=4$.
• Промежутки знакопостоянства: $y < 0$ при $x \in (-\infty, 4) \cup (4, +\infty)$.

Ответ: График состоит из части параболы $y=-(x-4)^2$ для $x < 5$ и ветви логарифмической кривой $y=\log_{0,2} x$ для $x \geq 5$, которые соединяются в точке $(5,-1)$. Основные свойства: область определения - все действительные числа, область значений - $(-\infty, 0]$, функция возрастает на $(-\infty, 4]$ и убывает на $[4, +\infty)$, имеет точку максимума $(4, 0)$.

---

в) $y = \begin{cases} \log_2 x, & \text{если } 0 < x < 2 \\ (\frac{1}{2})^x, & \text{если } x \geq 2 \end{cases}$

Построение графика:

1. На интервале $(0, 2)$ график функции совпадает с графиком $y = \log_2 x$. Это возрастающая логарифмическая кривая, проходящая через точку $(1, 0)$. Ось $y$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой. В граничной точке $x=2$ имеем $y=\log_2 2=1$. Точка $(2, 1)$ "выколота".

2. На промежутке $[2, +\infty)$ график совпадает с графиком показательной функции $y = (\frac{1}{2})^x$. Так как основание $1/2 < 1$, это убывающая функция. Ось $x$ ($y=0$) является горизонтальной асимптотой при $x \to \infty$. В начальной точке $x=2$ имеем $y=(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. Точка $(2, 1/4)$ включена.

3. В точке $x=2$ функция имеет разрыв. Предел слева равен 1, а значение функции в точке равно $1/4$. Это разрыв первого рода (скачок).

Свойства функции (чтение графика):

• Область определения: $D(y) = (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 1)$.
• Функция имеет разрыв в точке $x=2$.
• Функция не является ни четной, ни нечетной.
• Функция возрастает на интервале $(0, 2)$ и убывает на промежутке $[2, +\infty)$.
• Экстремумов нет.
• Нули функции: $y=0$ при $x=1$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (1, +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (0, 1)$.

Ответ: График состоит из ветви логарифмической кривой $y=\log_2 x$ на интервале $(0,2)$ и ветви показательной кривой $y=(1/2)^x$ на промежутке $[2, \infty)$. В точке $x=2$ происходит скачок. Основные свойства: область определения - $(0, +\infty)$, область значений - $(-\infty, 1)$, функция возрастает на $(0,2)$ и убывает на $[2, \infty)$, имеет ноль в точке $x=1$.

---

г) $y = \begin{cases} \frac{1}{x}, & \text{если } x < 0 \\ \log_{\sqrt{2}} x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Построение графика:

1. На промежутке $(-\infty, 0)$ график функции совпадает с графиком $y = \frac{1}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в третьей координатной четверти. Оси координат являются асимптотами. Ключевая точка: $(-1, -1)$.

2. На промежутке $(0, +\infty)$ график функции совпадает с графиком $y = \log_{\sqrt{2}} x$. Так как основание $\sqrt{2} > 1$, это возрастающая логарифмическая функция. Ось $y$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой. Ключевые точки: $(1, 0)$, $(\sqrt{2}, 1)$, $(2, 2)$.

3. Функция не определена в точке $x=0$. В этой точке она имеет бесконечный разрыв. График состоит из двух отдельных ветвей.

Свойства функции (чтение графика):

• Область определения: $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Функция имеет бесконечный разрыв в точке $x=0$.
• Функция не является ни четной, ни нечетной.
• Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0)$ и возрастает на промежутке $(0, +\infty)$.
• Экстремумов нет.
• Нули функции: $y=0$ при $x=1$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (1, +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 1)$.

Ответ: График состоит из ветви гиперболы $y=1/x$ в третьей четверти (для $x<0$) и ветви логарифмической кривой $y=\log_{\sqrt{2}} x$ (для $x>0$). Основные свойства: область определения - $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$, область значений - $(-\infty, +\infty)$, функция убывает на $(-\infty, 0)$ и возрастает на $(0, \infty)$, имеет ноль в точке $x=1$.