Номер 42.18, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§42. Функция у = log a x, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 42.18, страница 173.

42.18 Дано: $f(x) = \log_2 x$. Докажите, что выполняется следующее соотношение:

a) $f(2^x) = x$;

б) $f(4^x) + f(8^x) = 5x$.

а) Для того чтобы доказать равенство $f(2^x) = x$, необходимо подставить выражение $2^x$ в качестве аргумента в заданную функцию $f(x) = \log_2x$.
Выполним подстановку:
$f(2^x) = \log_2(2^x)$.
Воспользуемся основным свойством логарифмов: $\log_a(a^b) = b$. В данном случае основание $a=2$, а показатель степени $b=x$.
Применяя это свойство, получаем:
$\log_2(2^x) = x$.
Таким образом, мы доказали, что $f(2^x) = x$.
Ответ: Доказано.

б) Для того чтобы доказать равенство $f(4^x) + f(8^x) = 5x$, рассмотрим левую часть равенства и преобразуем каждое слагаемое по отдельности, используя определение функции $f(x) = \log_2x$.
1. Найдем значение $f(4^x)$:
$f(4^x) = \log_2(4^x)$.
Представим число 4 как степень двойки: $4 = 2^2$. Тогда $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$.
Подставим это в логарифм:
$f(4^x) = \log_2(2^{2x})$.
По свойству логарифма $\log_a(a^b) = b$, получаем:
$f(4^x) = 2x$.
2. Найдем значение $f(8^x)$:
$f(8^x) = \log_2(8^x)$.
Представим число 8 как степень двойки: $8 = 2^3$. Тогда $8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$.
Подставим это в логарифм:
$f(8^x) = \log_2(2^{3x})$.
По тому же свойству логарифма получаем:
$f(8^x) = 3x$.
3. Теперь сложим полученные результаты:
$f(4^x) + f(8^x) = 2x + 3x = 5x$.
Мы получили, что левая часть исходного соотношения равна $5x$, что совпадает с его правой частью. Таким образом, равенство доказано.
Ответ: Доказано.