Номер 42.11, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§42. Функция у = log a x, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 42.11, страница 172.

Постройте график функции:

42.11 а) $y = 2 + \log_3 x;$

б) $y = -1 + \log_{\frac{1}{3}} x;$

в) $y = -3 + \log_4 x;$

г) $y = 0,5 + \log_{0,1} x.$

а) Для построения графика функции $y = 2 + \log_3 x$ воспользуемся методом преобразования графиков.
1. Исходным является график логарифмической функции $y_0 = \log_3 x$. Это стандартная логарифмическая функция с основанием $a=3 > 1$, следовательно, она является возрастающей.
2. График функции $y_0 = \log_3 x$ проходит через ключевые точки: $(1, 0)$, так как $\log_3 1 = 0$; $(3, 1)$, так как $\log_3 3 = 1$; $(1/3, -1)$, так как $\log_3 (1/3) = -1$.
3. График заданной функции $y = 2 + \log_3 x$ получается из графика $y_0 = \log_3 x$ путем параллельного переноса на 2 единицы вверх вдоль оси ординат (оси Oy).
4. Найдем новые координаты ключевых точек. Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y_0 = \log_3 x$ перейдет в точку $(x_0, y_0 + 2)$ на графике $y = 2 + \log_3 x$:
- Точка $(1, 0)$ переходит в $(1, 0+2) = (1, 2)$.
- Точка $(3, 1)$ переходит в $(3, 1+2) = (3, 3)$.
- Точка $(1/3, -1)$ переходит в $(1/3, -1+2) = (1/3, 1)$.
5. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (осью Ox), приравняв $y$ к нулю:
$0 = 2 + \log_3 x$
$\log_3 x = -2$
$x = 3^{-2} = 1/9$.
Точка пересечения с осью Ox: $(1/9, 0)$.
6. Область определения функции не меняется: $x > 0$. Вертикальная асимптота также не меняется: $x=0$.

Ответ: График функции $y = 2 + \log_3 x$ получается из графика функции $y = \log_3 x$ параллельным переносом на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Это возрастающая функция с областью определения $x > 0$ и вертикальной асимптотой $x=0$. График проходит через точки $(1/9, 0)$, $(1, 2)$ и $(3, 3)$.

б) Для построения графика функции $y = -1 + \log_{\frac{1}{3}} x$ используем преобразование графика базовой функции.
1. Базовая функция — $y_0 = \log_{\frac{1}{3}} x$. Основание логарифма $a = 1/3$, так как $0 < 1/3 < 1$, функция является убывающей. Заметим, что $\log_{\frac{1}{3}} x = -\log_3 x$.
2. Ключевые точки для графика $y_0 = \log_{\frac{1}{3}} x$: $(1, 0)$, так как $\log_{\frac{1}{3}} 1 = 0$; $(1/3, 1)$, так как $\log_{\frac{1}{3}} (1/3) = 1$; $(3, -1)$, так как $\log_{\frac{1}{3}} 3 = -1$.
3. График функции $y = -1 + \log_{\frac{1}{3}} x$ получается из графика $y_0 = \log_{\frac{1}{3}} x$ путем параллельного переноса на 1 единицу вниз вдоль оси Oy.
4. Вычислим новые координаты ключевых точек. Каждая точка $(x_0, y_0)$ перейдет в точку $(x_0, y_0 - 1)$:
- Точка $(1, 0)$ переходит в $(1, 0-1) = (1, -1)$.
- Точка $(1/3, 1)$ переходит в $(1/3, 1-1) = (1/3, 0)$.
- Точка $(3, -1)$ переходит в $(3, -1-1) = (3, -2)$.
5. Точка пересечения с осью Ox уже найдена: $(1/3, 0)$. Проверим, приравняв $y$ к нулю:
$0 = -1 + \log_{\frac{1}{3}} x$
$\log_{\frac{1}{3}} x = 1$
$x = (1/3)^1 = 1/3$.
Точка пересечения с осью Ox: $(1/3, 0)$.
6. Область определения: $x > 0$. Вертикальная асимптота: $x=0$.

Ответ: График функции $y = -1 + \log_{\frac{1}{3}} x$ получается из графика $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ параллельным переносом на 1 единицу вниз вдоль оси Oy. Это убывающая функция с областью определения $x > 0$ и вертикальной асимптотой $x=0$. График проходит через точки $(1/3, 0)$, $(1, -1)$ и $(3, -2)$.

в) Построение графика функции $y = -3 + \log_4 x$ производится путем сдвига графика базовой функции.
1. Базовая функция — $y_0 = \log_4 x$. Основание $a=4 > 1$, поэтому функция возрастающая.
2. Ключевые точки для $y_0 = \log_4 x$: $(1, 0)$, $(4, 1)$, $(1/4, -1)$.
3. График функции $y = -3 + \log_4 x$ получается из графика $y_0 = \log_4 x$ параллельным переносом на 3 единицы вниз вдоль оси Oy.
4. Найдем новые координаты ключевых точек. Точка $(x_0, y_0)$ переходит в $(x_0, y_0 - 3)$:
- Точка $(1, 0)$ переходит в $(1, 0-3) = (1, -3)$.
- Точка $(4, 1)$ переходит в $(4, 1-3) = (4, -2)$.
- Точка $(1/4, -1)$ переходит в $(1/4, -1-3) = (1/4, -4)$.
5. Найдем точку пересечения с осью Ox ($y=0$):
$0 = -3 + \log_4 x$
$\log_4 x = 3$
$x = 4^3 = 64$.
Точка пересечения с осью Ox: $(64, 0)$.
6. Область определения: $x > 0$. Вертикальная асимптота: $x=0$.

Ответ: График функции $y = -3 + \log_4 x$ получается из графика $y = \log_4 x$ параллельным переносом на 3 единицы вниз вдоль оси Oy. Это возрастающая функция с областью определения $x > 0$ и вертикальной асимптотой $x=0$. График проходит через точки $(1, -3)$, $(4, -2)$ и $(64, 0)$.

г) Для построения графика функции $y = 0,5 + \log_{0,1} x$ выполним преобразование графика.
1. Базовая функция — $y_0 = \log_{0,1} x$. Основание $a=0,1$, так как $0 < 0,1 < 1$, функция является убывающей.
2. Ключевые точки для $y_0 = \log_{0,1} x$: $(1, 0)$, $(0,1; 1)$, $(10, -1)$.
3. График функции $y = 0,5 + \log_{0,1} x$ получается из графика $y_0 = \log_{0,1} x$ параллельным переносом на 0,5 единицы вверх вдоль оси Oy.
4. Вычислим новые координаты ключевых точек. Точка $(x_0, y_0)$ переходит в $(x_0, y_0 + 0,5)$:
- Точка $(1, 0)$ переходит в $(1, 0+0,5) = (1, 0,5)$.
- Точка $(0,1; 1)$ переходит в $(0,1; 1+0,5) = (0,1; 1,5)$.
- Точка $(10, -1)$ переходит в $(10, -1+0,5) = (10, -0,5)$.
5. Найдем точку пересечения с осью Ox ($y=0$):
$0 = 0,5 + \log_{0,1} x$
$\log_{0,1} x = -0,5 = -1/2$
$x = 0,1^{-1/2} = (1/10)^{-1/2} = 10^{1/2} = \sqrt{10}$.
Точка пересечения с осью Ox: $(\sqrt{10}, 0)$, где $\sqrt{10} \approx 3,16$.
6. Область определения: $x > 0$. Вертикальная асимптота: $x=0$.

Ответ: График функции $y = 0,5 + \log_{0,1} x$ получается из графика $y = \log_{0,1} x$ параллельным переносом на 0,5 единицы вверх вдоль оси Oy. Это убывающая функция с областью определения $x > 0$ и вертикальной асимптотой $x=0$. График проходит через точки $(\sqrt{10}, 0)$, $(1, 0,5)$ и $(0,1; 1,5)$.